Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Para o exercício em anexo, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.

Obrigado

São duas integrais:

Uma em y: \(\int_{2}^{4-2x} {1}dy = \left [ {y} \right ]_{2}^{4-2x} = {4-2x -2} = {2-2x}\),
observe que trata-se de uma reta com inclinação -2.

Outra em x: \(\int_{0}^{1} {1}dx = \left [ {x} \right ]_{0}^{1} = {1-0} = {1}\),

Logo, integrar essa a função original é determinar a área da figura abaixo da reta \(y=2-2x\) para x indo de 0 a 1, isto é um triângulo de base 1 e altura 2, cuja área é 1.

Para inverter você poderia apenas trocar x por y e vice-versa.

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Fraol
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Fraol, por favor me explique como funciona esse processo de inversão da ordem de integração (não só para este exercício mas para um caso geral).

Obrigado

Oi, estou certo que aqui mesmo no fórum tenhamos participantes e colaboradores mais preparados para uma explicação catedrática. De qualquer maneira vamos lá:

A ideia geral da inversão é criar uma integral mais simples de se integrar do que a original. Em geral o fazemos quando temos extremos de integração como função da(s) variável(is) de integração.

Se não me falha a memória, e como ela falha ultimamente!, para fazer a inversão a gente determina a área delimitada pelas tais funções.

Vou dar um exemplo para pensar. Suponhamos que queremos integrar uma função qualquer com os seguintes extremos:

\(\int_{0}^{1} \int_{3y}^{3} f(x,y) dxdy\)

Veja que temos as seguintes funções x=3 e x=3y (y=x/3) nos extremos da integração em x. Delimitando a área temos uma reta y=x/3 e x=3. A intersecção é o ponto (3,1).

Usando os novos limites temos que y vai de 0 a x/3. Nesse caso x vai de 0 a 3. Pronto temos a inversão:

\(\int_{0}^{3} \int_{0}^{x/3} f(x,y) dydx\)

E é só fazer a integral da f(x,y) nessa nova configuração.

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Fraol
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Fraol, ainda estou bem perdido Tentei resolver a integral inicial em anexo invertendo a ordem de integração e não saiu muita coisa. Veja:

Sei que y = 2 e y = 4 - 2x

Como y = 2 ----> x = 1

Aqui começam as dúvidas!

Como achar o outro valor de x para prosseguir?

Obrigado

Boa noite,

Eu esbocei uma figura para ajudar a gente:

Nós queremos que a ordem de integração seja \(dxdy\) então \(y\) será a variável mais externa (com extremos constantes). Olhando para o gráfico acima vemos que irá de \(2\) até \(4\).

O \(x\) será a variável interna e variará de \(-y/2+2\) até \(1\), concorda?

Assim a integral com a ordem de integração invertida ficará assim: \(\int_{2}^{4} \int_{-y/2+2}^{1} dxdy\)

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Fraol
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Perfeito Fraol!

Uma imagem vale mais que mil palavras.

Muito obrigado!

Dúvida esclarecida