Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Qual é o valor de:

\(\int_{o}^{1}\int_{o}^{sqrt(1-y^{2})}(1-sqrt(x^2+y^2))dxdy\)

R: pi/12

Olá Raphael!

Amigo, estou sem impressora no momento para escanear a resolução para você mas vou tentar explicar como se resolve

1°) Passei a respectiva integral dupla para coordenadas polares pois, a região de integração gerada é um círculo. Bom, como eu sei que é um círculo? Repare que em coordenadas retangulares temos: x = V(1-y²) --> x² + y² = 1 (circunferência de raio 1).

2°) Em coordenadas polares temos que x = r*cosθ e y = r*senθ.

3°) Em coordenadas retangulares repare que o "y" varia de 0 a 1. Logo, "varrerá" o primeiro quadrante da circunferência.

Com posse dessas informações podemos montar a integra dupla:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}(1-r)\,rdrd\theta\)

Consegue resolver a integral sozinho?

Qualquer dúvida manda aí.

Abraço

--> Parece-me que estás estudando para algum concurso, posso ajudá-lo. Me envie o seu e-mail que lhe explico melhor.

Olá, realmente estou estudando para uma prova da marinha que acontecerá daqui um mês. Venho estudando diariamente, e resolvendo exercícios da última prova. Possuo "prints" de mais 6 questões das quais estão paradas, pois não sei resolvê-las. Se quiser podemos trocar número de celular e te envio as questões das quais possuo, via whatsapp.
Quanto ao que me explicou acredito que eu tenha compreendido e assim realmente cheguei na resposta em questão.
Confirme pra mim, se meu pensamento estás correto, ok?

- Se o "y" está varrendo o primeiro quadrante, quer dizer que o "x" também será primeiro quadrante, assim o intervalo de "x" passou a ser 0 a pi/2, correto?

- Se isso o que descrevi, está certo então o intervalo de 0 a raiz, que por coord. polares equivale a x², aplico somente o angulo do primeiro quadrante, correto?

- Sempre quando faz a troca de retangular para polar, digamos o dxdy "vira" \(rdrd\theta\) onde r seria o antigo "y" e theta seria o antigo "x". Correto?

Se quiser me add no cel, estás aí meu número -> 12981278413

Muito obrigado pela ajuda e Deus lhe pague por sua bondade.

Olá Raphael!

Como estamos analisando o primeiro quadrante o nosso "x" passa a ser o raio da circunferência (varia de 0 a 1). O "y" é a variação do ângulo no sentido anti-horário a contar do zero (logo, de 0 a pi/2).

O r*drdθ é o Jacobiano que sempre aparece quando transformamos para coordenadas polares.

Continuo colocando-me a disposição caso surjam eventuais dúvidas.

Abraço