Volumes, momentos de inércia, centro de massa de objectos tridimensionais, integrais com mais de uma variável
22 nov 2018, 06:43
Prove que, se uma curva é representada em coordenadas polares, então \(ds^2 = r^2d\theta^2 + dr^2.\)
29 nov 2018, 11:24
Obs: Essa atividade está relacionada com cálculo vetorial, acredito que esta fórmula tem relação com o comprimento do arco de uma curva, contudo é preciso fazer uma adaptação para o sistema de coordenadas polares, mas não tenho a ideia bem clara de como fazer.
30 nov 2018, 11:46
\(x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta\)
logo, designando \(\frac{dr}{d\theta} = r'\), temos
\(\frac{dx}{d \theta} = r' \cos \theta - r \sin \theta
\frac{dy}{d \theta} = r' \sin \theta + r \cos \theta\)
pelo que
\(\left(\frac{dx}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 \cos^2 \theta - 2 r r' \cos \theta \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta
\left(\frac{dy}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 \sin^2 \theta + 2 r r' \sin \theta \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta\)
\(\left(\frac{dx}{d \theta} \right)^2 + \left(\frac{dy}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 + r^2 = \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2 +r^2\)
ou, formalmente,
\((dx)^2+(dy)^2 = r^2 (d\theta)^2 + (dr)^2\)
Como \((ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2\) (Teo. de Pitágoras), tem o resultado pretendido.
Daqui resulta que o comprimento do gráfico de uma função \(r = f(\theta)\) para \(\theta \in [a,b]\) é dado por
\(C = \int_a^b \sqrt{r^2+ \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta\)
17 dez 2018, 05:43
Conhecimento apertado
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