Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 29 mar 2024, 12:10

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 3 mensagens ] 
Autor Mensagem
MensagemEnviado: 23 jan 2017, 20:51 
Offline

Registado: 02 dez 2016, 20:44
Mensagens: 101
Localização: Cedral/SP-Brasil
Agradeceu: 20 vezes
Foi agradecido: 36 vezes
302/41. Achar a área limitada por um arco da ciclóide \(x=a(\phi-sen\phi),\ y=a(1-cos\phi)\) e o eixo X.

Resolução:
\(dx=-a.cos\phi.d\phi\\y=0=>cos\phi=1=>\phi=2\pi\\A=\int_{0}^{2\pi}ydx=\int_{0}^{2\pi}a(1-cos\phi)(-a.cos\phi)d\phi=\\=-a^2\left [ \int_{0}^{2\pi}cos\phi.d\phi-\int_{0}^{2\pi}cos^2\phi.d\phi\right ]=\\ -a^2[sen\phi-(\frac{1}{2}\phi+\frac{1}{4}sen2\phi)]_0^2\\= =-a^2[0-\pi-0]=\pi.a^2\)

E não bate com a resposta do livro que é: \(3.\pi.a^2\)

Por gentileza, mostre-me onde é que estou errando.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 24 jan 2017, 05:02 
Offline

Registado: 11 jan 2015, 02:31
Mensagens: 539
Localização: Covilhã
Agradeceu: 7 vezes
Foi agradecido: 298 vezes
O integral não está correto. A área de regiões de curvas fechadas é dado que:
\(\int_{t_1}^{t_2}|f(t)|dt=\int_{t_1}^{t_2}|y(t)\cdot x'(t)|dt\)

Neste caso:
\(f(t)=(x(t),y(t))=(a(t-\sin(t)),a(1-\cos(t)))\)

\(A=\int_{0}^{2\pi }a^2(1-\cos(t))(1-\cos(t))dt=a^2\int_{0}^{2\pi }1-2\cos(t)+\cos^2(t)dt=a^2\left [ t-2\sin(t)+\frac{1}{2} t+\frac{1}{4}\sin(2t)\right ]_{0}^{2\pi }=a^2(2\pi+\pi)=a^23\pi\)


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 24 jan 2017, 15:33 
Offline

Registado: 02 dez 2016, 20:44
Mensagens: 101
Localização: Cedral/SP-Brasil
Agradeceu: 20 vezes
Foi agradecido: 36 vezes
Obrigado, Pedro.
Olhando para o seu desenvolvimento eu percebi que errei logo na primeira linha, quando fiz dx=-a.cos(fi), sendo o correto dx=a(1-cos(fi)). Refiz o exercício e cheguei ao resultado correto.


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 3 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 42 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para:  
cron