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 Título da Pergunta: Volume de Sólidos de revolução
MensagemEnviado: 30 jun 2017, 22:57 
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1) Sólido cuja base é a região triangular com vértices (4,0), (0,2), e (-1,0), e as seções transversais perpendiculares ao eixo Y são triângulos equiláteros.


2)Do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada por y=x^2, x=1 e y=0, ao redor da reta y=-2, utilizando o método da casca cilíndrica.


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MensagemEnviado: 02 ago 2017, 20:46 
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Questão 1)

Equação da reta que passa por (0,2) e (-1,0):\(x=\frac{1}{2}y-1\ (r1)\\\)
Equação da reta que passa por (0,2) e (4,0):\(x=4-2y\ (r2)\\\)
Área de cada seção transversal (triângulo equiláteros):\(A=\frac{1}{2}x^2.sen60^{\circ}=\frac{1}{2}x^2.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{4}\sqrt3x^2\)
Aqui, x = x(r2) - x(r1) => \(x=(4-2y-(\frac{1}{2}y-1))=>x=(5-\frac{5}{2}y)=>A=\frac{\sqrt3}{4}(5-\frac{5}{2})^2\\\)
O volume ao longo do eixo Y será:
\(V=\int_{0}^{2}Ady=\frac{\sqrt3}{4}\int_{0}^{2}(5-\frac{5}{2}y)^2=\frac{25\sqrt3}{16}\int_{0}^{2}y^2dy=\frac{25\sqrt3}{48}\left | y^3 \right |_0^{2}=\frac{25\sqrt3}{48}(8)=\frac{25}{6}\sqrt3\)


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MensagemEnviado: 29 ago 2017, 19:01 
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Questão 2)
Anexo:
Carolina.png
Carolina.png [ 13.51 KiB | Visualizado 3408 vezes ]

V1=volume produzido pela rotação da região ABCD em torno de y = -2
\(dA=1dh;\ dV=2\pi hdA=2\pi hdh\ e\ V1=2\pi \int_{0}^{2}hdh=2\pi \left [ \frac{h^2}{2} \right ]_0^2=4\pi\\\)

V2=volume produzido pela rotação da região CDE em torno de y = -2
\(y=x^2;\ x=y^{1/2}\\\)
\(r=y+2;\ dA=(1-x)dy;\ dV=2\pi rdA=2\pi (y+2)(1-x)dy=2\pi (y+2)(1-y^{1/2})dy\\ dV=(y-y^{3/2}+2-2y^{1/2})dy\\ V2=2\pi \int_{0}^{1}(y-y^{3/2}-2y^{1/2}+2)=2\pi \left [ \frac{y^2}{2}-\frac{2}{5}y^{5/2}-\frac{4}{3}y^{3/2}-2y \right ]_0^1=\frac{23}{15}\pi\\ V=V1+V2=4\pi + \frac{23}{15}\pi\ =\ \frac{83}{15}\pi\\\)
PARA CONFERIR:
A rotação da região ABCD em torno de y = -2 gera um cilindo de raio r=2 e altura h=1 e seu volume é:\(V=\pi r^2h=\pi.2^2.1 = 4\pi\)

A ordenada do centro de gravidade da região CDE, em relação ao eixo OX é \(\frac{3}{10}b,\ sendo\ b=distancia\ DE=1\\\)
A ordenada em relaçao à reta y = -2 é \(y_{cg}=2+\frac{3}{10}=\frac{23}{10}\\\)

O volume produzino pela rotação da região CDE em relação a y = -2 é, usando Pappus-Guldinus,
\(V=2\pi y_{cg}A,\ sendo\ A\ a\ area\ da\ regiao\\ A=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}\\ V2=2\pi(\frac{23}{10})(\frac{1}{3})=\frac{23}{15}\pi\)


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