Como integrar essa integral tripla nessa regiao?
28 jun 2018, 04:28
Meu resultado esta dando (pi/4)(-1/3 - 1/sqrt(2)) acho que esta bem errado tendo em vista que o volume esta acima do plano xy. Usei coordenadas cilindricas mas não estou conseguindo calcular
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Re: Como integrar essa integral tripla nessa regiao? [resolvida]
28 jun 2018, 10:06
Deve usar coordenadas cilíndricas...
\(B_* = \{(r, \theta, z): 0\leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, r \leq z\leq \sqrt{2-r^2}\}\)
\(\iiint_B dx dy dz = \iiint_{B_*} r dr d \theta dz = \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \int_r^{\sqrt{2-r^2}} r dz dr d \theta = \frac{\pi}{2} \int_0^1 r(\sqrt{2-r^2}-r) dr=
\frac{\pi}{2} \left[-\frac 12\dfrac{(2-r^2)^{3/2}}{3/2} -\dfrac{2r^3}{3}\right]_0^1 = \frac{\pi}{3}(\sqrt{2}-1)\)
\(B_* = \{(r, \theta, z): 0\leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, r \leq z\leq \sqrt{2-r^2}\}\)
\(\iiint_B dx dy dz = \iiint_{B_*} r dr d \theta dz = \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \int_r^{\sqrt{2-r^2}} r dz dr d \theta = \frac{\pi}{2} \int_0^1 r(\sqrt{2-r^2}-r) dr=
\frac{\pi}{2} \left[-\frac 12\dfrac{(2-r^2)^{3/2}}{3/2} -\dfrac{2r^3}{3}\right]_0^1 = \frac{\pi}{3}(\sqrt{2}-1)\)