Fórum de Matemática
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Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x²+y², acima do plano XY e dentro do cilindro x²+y²=2x . Sugestão, lembre que cos²(t) = (1+/cos(2t))/2
(t=teta)

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Helen Bianca Barbarini =]

Veja isto cara Bianca

http://pt.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
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Caro João,

Não entendi.

Grata,

Larissa Silva

Não vou colocar aqui a figura final, mas \(z=x^2+y^2\) em coordenadas polares fica \(z=\rho^2\).
Portanto, \(z \in [0, \rho^2]\).
Com a outra condição \(x^2+y^2=2x\), primeiro, vejamos em termos gráficos.
Manipulando temos \((x-1)^2-2x+{1}+y^2={1}\) , o que representa o cilindro de raio 1 com eixo paralelo ao eixo dos zz e passando nos pontos \((1,0,z)\)
Em relação ao eixo de coordenadas \(xyz\), o cilindro situa-se na região em que o \(\theta \in[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}]\).
Podemos usar \((x-1)^2+y^2={1}\) para concluir que, em coordenadas cilíndricas, \(\rho = cos(\theta)\) define o limite superior de \(\rho\). Temos então que \(\rho \in [0, cos(\theta)]\).

Com isto, temos limites para \(\theta\), \(\rho\) em funcção de \(\theta\) e \(z\) em função de \(\rho\).

Assim sendo, e lembrando que, ao mudar para coordenadas cilíndricas, temos no termo a integrar o \(\rho\) para calcular o volume, temos

\(Vol = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{cos(\theta)}\int_{0}^{\rho^2} \rho dz d\rho d\theta\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928