Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Calcular \(\int \int_{T} \int d V\) , onde \(T\) é a região limitada por \(x^2+y^2=4\) e \(y^2+z^2=4\) .


Gabarito.




Esboçando dá pra ver que o volume procurado são os dois sólidos (cilindros).

então:

\(\text{ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} 1 dzdydx}\)


Dúvida: Como prosseguir no cálculo desta integral? Já tentei passar para coordenadas cilíndricas ,mas mesmo assim não conseguir resolver esta integral:(


att.
Agradeço desde já

Boas

acho que o teu integral dá para resolver por substituição trigonométrica

\(x=2sen t\)
\(dx=2cos t dt\)

\(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(2sen t)^2}=2cos t\)

Todavia, repara que se trata da interseção de dois cilindros, então o sólido correspondente é o denominado sólido de Steinmetz
http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html

Repare ainda que o sólido em causa é simétrico, por isso podes calcular o volume em apenas um dos seus octantes e depois multiplicar por 8.

Outra técnica é reparares que a secção de corte horizontal é um quadrado centrado em (0,0) cujo lado mede \(2\sqrt{4-z^2}\)

assim o volume é o varrimento (integral) desse quadrado ao longo do eixo \(z\), ou seja \(\int_{-2}^2 2\sqrt{4-z^2}dz\) (para esta primitiva podes usar uma substituição trigonométrica)

dúvidas diz

um abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Muito obrigado João P. Ferreira ajudaste muito.Achei muito interessante este tipo de sólido.

abraços amigo

Nós é que agradecemos os seus nobres contributos à comunidade

um grande abraço

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João Pimentel Ferreira
 
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2° modo :

vamos calcular o volume do primeiro octante e multiplicar por 8,para obtermos o sólido por completo.




então bastar calcular a integral tripla:

\(\text{\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dxdzdy }\)


Usando teorema de Fubini:


\(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dx=8\sqrt{4-y^2}\)


\(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}8\sqrt{4-y^2} dz=32-8y^2\)


\(\int_{0}^{2} 32-8y^2 dy= \frac{128}{3}\)


abraços

excelente meu caro amigo

muito obrigado pela partilha

um abraço

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