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Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
\(V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx\)

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = \(e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}\)

a) A região é tipo uma vela triangular limitada por baixo pelo segmento de reta que une (1,1) a (8,8) (ou seja o gráfico de \(x\) entre \(x=1\) e \(x=8\)), e por cima pelo gráfico de \(x^3\) entre \(x=1\) e \(x=2\) e o segmento de reta que une (2,8) a (8,8).
A integral na forma invertida fica:

\(V=\int_{1}^{8}\int_{\sqrt[3]{y}}^{y}f(x,y)dxdy\)

b) Se não houver erros nas contas deve dar:
\(V=\int_{1}^{8}\int_{\sqrt[3]{y}}^{y}e^y\left(\frac{x}{y}\right)^{1/2} dxdy=\int_{1}^{8}\left[ e^y\left(\frac{2x^{3/2}}{3y^{1/2}}\right)\right]_{\sqrt[3]{y}}^{y} dy=\int_{1}^{8} e^y\left(\frac{2y}{3}\right)-e^y\left(\frac{2}{3}\right) dy=\frac{2}{3}\left[ e^y y-2e^y\right]_{1}^{8}=4e^8+\frac{2}{3}e\)

Obrigado amigo!!!