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Calcule \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}\sqrt{1-y^2}\,dxdy\)

Bom, resolver a integral acima para mim não é difícil.

Minha dúvida é a seguinte: E se fosse com a ordem de integração invertida? (Aparecendo dydx)

Alguém me explica por favor?

Obrigado

A ordem e os limites de integração estão ligados à descrição do domínio. No caso que apresenta, o domínio de integração é dado por

\(D = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0 \leq y \leq 1, \quad 0 \leq y \leq \sqrt{1-y^2} \}\)

Se quisermos especificar primeiro os limites da variável x, podemos dizer de modo equivalente que

\(D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1, \quad 0\leq y \leq \sqrt{1-x^2} \}\)

Repare que o conjunto é o mesmo, mas descrito de dois modos equivalentes, num caso indicando primeiro o intervalo para y e no outro primeiro o intervalo para x. Assim, a inversão da ordem de integração corresponde a adoptar a segunda alternativo como descrição da região de integração, ficando

\(\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1-y^2} dy dx\)