Integral triplo - Cálculo do volume de sólido limitado por planos, cilindro e considerando função densidade

[F.Augusto]

Calcular a massa do sólido do primeiro octante limitado superiormente pelo plano z = 4 ,
inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro x²+y²=4 e pelos planos x = 2 e
y = 2. Considerar a função densidade σ (x, y, z) = kx .


Resp: 16k/3


Como chegar nesta resposta?


Obrigado !!

[João P. Ferreira]

estes exercícios são trabalhosos! Consegue postar aqui o desenho do objeto?

O primeiro octante é a região \(x>0\ \wedge \ y>0\ \wedge \ z>0\) (região I em anexo)

pela descrição falamos de um cilindro de raio 2 com eixo ao longo de \(z\), dividido simetricamente em 4 partes, onde queremos apenas uma dessas partes (do primeiro octante), limitadas entre \(0<z<4\).

consegue desenhar-me?

Anexos

[F.Augusto]

estes exercícios são trabalhosos! Consegue postar aqui o desenho do objeto?

O primeiro octante é a região \(x>0\ \wedge \ y>0\ \wedge \ z>0\) (região I em anexo)

pela descrição falamos de um cilindro de raio 2 com eixo ao longo de \(z\), dividido simetricamente em 4 partes, onde queremos apenas uma dessas partes (do primeiro octante), limitadas entre \(0<z<4\).

consegue desenhar-me?

Anexos

Acho que é assim, ,mas não estou conseguindo definir os limites de integração

[João P. Ferreira]

Muito bem

Agora, usando coordenadas cilíndricas

Cylindrical_coordinates.png (7.66 KiB) Visualizado 3536 vezes

é fácil ver que a nossa região é

\(0<z<4\) e que o ângulo está entre \(0<\phi<\frac{\pi}{2}\) e que o raio \(\rho\) do cilíndro varia de \(0\) a \(2\)

pela definição de integral de coordenadas cilíndricas tem-se

\(\iiint_Q f(x,y,z)dxdydz=\iiint_C f(\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi),z)\rho\ d\rho d\phi dz\)

aplicado ao nosso caso dá

\(\int_0^4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 f(\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi),z)\rho\ d\rho d\phi dz\)

lembre-se que se σ (x, y, z) = kx então

\(f(\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi),z)=k \rho \cos(\phi)\)

agora é só montar, avance nas contas, dúvidas diga...

\(\int_0^4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2k \rho \cos(\phi) \rho\ d\rho d\phi dz=...\)

[F.Augusto]

Muito bem

Agora, usando coordenadas cilíndricas

Cylindrical_coordinates.png

é fácil ver que a nossa região é

\(0<z<4\) e que o ângulo está entre \(0<\phi<\frac{\pi}{2}\) e que o raio \(\rho\) do cilíndro varia de \(0\) a \(2\)

pela definição de integral de coordenadas cilíndricas tem-se

\(\iiint_Q f(x,y,z)dxdydz=\iiint_C f(\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi),z)\rho\ d\rho d\phi dz\)

aplicado ao nosso caso dá

Ok, mas o resultado deu 32K/3 e não 16k/3....será que o livro está errado? ou eu que estou? kkk

\(\int_0^4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 f(\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi),z)\rho\ d\rho d\phi dz\)

lembre-se que se σ (x, y, z) = kx então

\(f(\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi),z)=k \rho \cos(\phi)\)

agora é só montar, avance nas contas, dúvidas diga...

\(\int_0^4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2k \rho \cos(\phi) \rho\ d\rho d\phi dz=...\)

[João P. Ferreira]

terá que colocar aqui os seus cálculos para saber onde errou

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