Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

calcule o volume no primeiro octante pelo cilindro x²+z²=9 e pelos planos y=x e y=3x.


Queria saber como eu transfiro para coordenadas polares. Pois não estou conseguindo achar a variação do angulo.


Resp: 18



Obrigado

Boa noite F. Augusto!

Amigo, infelizmente não vou poder ajudá-lo mas com certeza alguém vai te ajudar por aqui

Também estou vendo essa matéria na faculdade mas estou bem "perdido". Deixa eu te perguntar: Essas questões que você tem enviado aqui no fórum é de qual material?

Abraço

Bom dia,

Deve começar por esboçar a região em causa... Verá que \(\theta \in [\pi/4 , \arctan 3]\), já que olhando para o plano xy estaremos entre a recta y=x (declive =1, logo angulo = arctan 1 = pi/4) e a recta y=3x (declive =3, logo angulo = arctan 3). Quando o angulo varia nesse intervalo, a distancia à origem varia entre 0 a a distancia correspondente a um ponto sobre a recta x = 3, isto é, \(r \cos \theta =3 \Leftrightarrow r = \frac{3}{\cos \theta}\). Finalmente, z está sempre entre 0 e a altura correspondente à superfície do cilindro, isto é \(x^2+ z^2 = {9} \Leftrightarrow r^2 \cos^2 \theta + z^2 = {9} \Leftrightarrow z = \sqrt{9 - r^2\cos^2 \theta}\). FInalmente, o integral é dado por

\(\int_{\pi/4}^{\arctan 3}\left( \int_0^{3/\cos \theta} \left(\int_0^{\sqrt{9 -r^2 \cos^2\theta}} r dz\right) dr \right) d\theta = \cdots = 18\)