Seja bem-vindo caro Nataniel
Pode colocar as dúvidas que quiser que tentaremos ser breves na resposta.
Como pode ver pelas regras, coloca-se apenas um exercício por tópico.
Assim, vou resolver o primeiro da primeira imagem.
1- quer achar o paralelepípedo com volume máximo cuja área total seja 5.
Imagine um paralelepípedo retangular com as arestas \(x,y,z\)
A função volume que queremos maximizar é dada por \(v(x,y,z)=x.y.z\) (para achar o volume de um paralelepípedo é multiplicar as três arestas nas diferentes direções espaciais)
No entanto sabe que está sujeito a restrições, ou seja a área total é 5. A área total é a soma das áreas de todos os lados, ou seja a função área é dada por \(A(x,y,z)=2xy+2zx+2yz=5\)
Quer então maximizar \(v(x,y,z)=x.y.z\) sujeito à restrição \(A(x,y,z)=2xy+2zx+2yz=5\)
Aplicando os multiplicadores de Lagrange vamos estudar esta função ao longo das quatro variáveis
\(\Lambda(x,y,z,\lambda)=x.y.z-\lambda(2xy+2zx+2yz-5)\)
Agora é só achar os extremos desta função \(\Lambda\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial x}=yz-2\lambda(y+z)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial y}=xz-2\lambda(x+z)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial z}=xy-2\lambda(x+y)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}=2xy+2zx+2yz-5=0\)
Agora é só resolver este sistema e verá que o resultado é um cubo
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