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(a) \(V = \{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2 + y^2} < z < \sqrt{1-x^2-y^2} \}\) define uma secção cónica de uma esfera de raio 1.
Em coordenadas cilíndricas (\((\rho ,\varphi ,z)\in [0,+\infty[\times [0,2\pi [\times \mathbb{R}\) com \(x=\rho\cos\varphi , y=\rho\sin\varphi , z=z\)) fica:
\(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\int_{\rho}^{\sqrt{1-\rho^2}}\rho dz d\rho d\varphi\)
Em coordenadas esféricas (\((r,\theta ,\varphi )\in [0,+\infty[\times [0,\pi ]\times [0,2\pi [\) com \(x=r\sin\theta\cos\varphi , y=r\sin\theta\sin\varphi , z=\cos\theta\)) fica:
\(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}r \sin\theta d\theta dr d\varphi\)
(b) \(V = \{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : 0 < y < x, z > 0, 1 < x^2 + y^2 + z^2 < 2 \}\) define um octante de uma esfera oca de raio exterior igual 2 e raio interior igual a 1.
Em coordenadas cilíndricas (\((\rho ,\varphi ,z)\in [0,+\infty[\times [0,2\pi [\times \mathbb{R} /tex] com [tex]x=\rho\cos\varphi , y=\rho\sin\varphi , z=z\)) fica:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-\rho^2}}^{\sqrt{2-\rho^2}}\rho dz d\rho + \int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-\rho^2}}\rho dz d\rho\right) d\varphi\)
Em coordenadas esféricas (\((r,\theta ,\varphi )\in [0,+\infty[\times [0,\pi ]\times [0,2\pi [ /tex] com [tex]x=r\sin\theta\cos\varphi , y=r\sin\theta\sin\varphi , z=\cos\theta\)) fica:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r \sin\theta d\theta dr d\varphi\)
Nota: Estou a usar a convenção \(\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{e}^{f}du dv dw\) se \(a<w<b , c<v<d , e<u<f\)
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