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Determine o valor de α se ∑(1+α)^-n = 2 (∑ tende ao infinito e n=2)

\(\sum_{n\ge 2} (1+\alpha)^{-n} = \sum_{n\ge 2} \left(\frac{1}{1+\alpha}\right)^n\)

Trata-se de uma série geométrica de razão \(1/(1+\alpha)\), que é convergente se e só se \(|1/(1+\alpha)|<1\), isto é se \(\alpha >0 \vee \alpha < -2\). Nesse caso a soma é dada por

\(\sum_{n\ge 2} (1+\alpha)^{-n} = \frac{(1/(1+\alpha))^2}{1-\frac{1}{1+\alpha}}=\frac{1}{\alpha (1+\alpha)}\)

Agora, sabendo que a soma tem o valor 2, retira o valor de \(\alpha\).