Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite ! Considerem \(X, Y\) espaços topológicos \((F_n : X \longrightarrow Y )_{n = 1}^{+\infty}\) e \((a_n) \subset X\) uma sequencia convergindo para \(a\) . Suponhamos que \(F_m\) convirja pontualmente para uma função \(F : X \longrightarrow Y\) .

Questão : Esta hipótese é suficiente para garantir que para cada x em X , a sequencia \(F_n(a_n)) \subset Y\) convirja para \(F(a) \in Y\) ?

Resposta : Não ! ( Conseguir construir um contra exemplo com cada F_n piecewise continua ..Considerei X, Y variedades diferenciáveis suaves(ou de classes C^k) ..Na verdade X = Y = R com a topologia usual já o suficiente , certo ? Uma vez que o resultado falha em R logo não funcionará em R^n e consequentemente em qualquer variedade usando uma carta local )

E se , além da hipótese acima ,F e cada \(F_n\) forem continua ? Para este caso parece que a resposta é sim . Porém não sei se estou certo .

Fixe x . Dado qualquer vizinhança (aberta) \(U\) de \(F(a)\) precisamos determinar um indice \(n_0\) tal que \(F_n(a_n) \in U\) sempre que \(n > n_0\) . Ora , \(V:= F^{-1} (U)\) é uma vizinhança (aberta) de \(a\) limite da sequencia \((a_n)\) pelo que existe \(n_0\) tal que \(\forall n (n > n_0 \Rightarrow a_n \in V )\) e portanto \(\forall n ( n > n_0 \Rightarrow F_(a_n) \in U )\) (Isto em particular prova que F(a_n) converge para F(a) )
Agora , para cada m fixo , \(F_n(a_m)\) converge para \(F(a_m)\) , isso nos daria um indice \(n_0^m\) que a priori depende de m , de modo que \(F_{n}(a_m) \in V\) para todo \(n > n_0^m\) .Se , este indice não depende de m , está feito ! E o resultado desejado seguiria .
(pois uma vez que o indice não depende de m , aumentando \(n_0\) se necessário , vamos ter \(F_n(a_m) \in U \forall n > n_0\) , para cada \(m >n_0\) . ( e novamente frisando que \(n_0\) não depende de m ) teremos que \(F_n(a_m) \in U \forall n , m > n_0\) e assim \(F_{n}(a_n) \in U \forall n > n_0\) estabelecendo que \(F_{n}(a_n) \to F(a)\) .

Meu objetivo é estabelecer esta independência . Isto é possível ou não ? Caso não, há um contraexemplo ?

Desde já obg .

Bom dia,

O resultado não é verdadeiro... Considere por exemplo a sucessão de funções definidas em [0,1]:

\(s_n(x) = \left\{\begin{array}{rl}2^n x, & \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2^n}\\2-2^n x, & \quad \frac{1}{2^n} \leq x \leq \frac{1}{2^{n-1}}\\ 0, & \quad \frac{1}{2^{n-1}}\leq x \leq 1\end{array}\right.\)

Apesar de as funções \(s_n\) serem contínuas e convergirem pontualmente para a função contínua \(s(x) = 0\), verifica-se que \(s_n(1/2^n)=1\).

http://www.ams.org/journals/tran/1930-032-03/S0002-9947-1930-1501551-9/S0002-9947-1930-1501551-9.pdf

Boa Noite Sobolev . Obrigado pelo Input ! Passei um bom tempo pensando em como introduzir a noção de Convergência uniforme para aplicações de um conjunto qualquer em um esp.topológico [não necessariamente metrizavel ] , mas sem sucesso ... Da mesma forma , tentei generalizar a noção de continuidade uniforme para aplicações entre espaços topológicos ...novamente sem sucesso ! Percebo que falta estrutura para "uniformizar propriedades " (como as noções acima ) , a menos que estes espaços sejam metrizaveis .. Talvez numa variedade , poderíamos definir as noções acima localmente usando uma carta local .. Porém não sei , se tal definição faria sentido , e se seria unívoca já que poderia depender da carta local . Pergunta : Será que podemos add mais estrutura nestes espaços topológicos para tais noções serem definidas ? Assim , como foi feito para introduzir a noção Variedades Diferenciáveis etc ..

Desde Já obrigado :

Compartilhando a nova solução para checarem se está ok !

Modificação do Enunciado : Mantemos todas as hipóteses do enunciado com exceção do seguinte :

i) \(Y\) será um espaço métrico \((Y,d)\)
ii) \(F_n\) convergirá uniformemente para \(F\) numa vizinhança U paracompacta de a (isto é uma vizinhança aberta de a cujo fecho é compacto ) ( ( o que é equivalente dizer que :
\(F_n\) restrita \(\overline{U}\) converge para \(F\) restrita a \(\overline{U}\) com respeito a métrica da convergência uniforme )
\(d_{\infty} : ( f,g) \in C( \overline{U} ; (Y,d) ) \times C( \overline{U} ; (Y,d) ) \mapsto \sup \{d(f(x),g(x) ) ; x \in \overline{U} } \in (0, +\infty) \}\)

Assim , sob as considerações acima , seja \(\epsilon > 0\) . Para todo x e n , vale que

\(d(F_n(a_n) ,F(a)) \leq d(F_n(a_n) ,F(a_n)) + d(F(a_n) ,F(a))\) ,

Escolha \(n_0\) tal que :

a) \(a_n \in U \forall n > n_0\) (hip que a_n converge para a )
b) \(d_{\infty} (F_n , F) < \epsilon \forall n, m > n_0\) (abuso de notação ..é F_n, F restrita a U )
c) Pela continuidade de F , 'diminuindo ' U se necessário (não vamos perder a paracompacidade ) , teremos que \(d(F(a_n) ,F(a)) < \epsilon \forall n > n_0\)

Então se \(n > n_0\) , por a) e b) , resulta que

\(d(F_n(a_n) ,F(a)) \leq d(F_n(a_n) ,F_m(a_n)) + d(F_n(a_n) ,F(a)) \leq d_{\infty} (F_n , F_m ) +d_{\infty} (F_n , F_m ) < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon\) estabilizando o resultado .