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Preciso de ajuda nesta questão:


Prove, por definição, que a sequência \((a_{n})\) converge para o limite L:

\((a_{n})=\frac{n}{2n+1}\) converge para L=1/2


Obrigado.

NiGoRi

\(\lim a_n = \frac 12 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists p : n \ge p \Rightarrow |a_n - \frac 12| < \varepsilon\)

Trata-se então de verificar se para qualquer \(\varepsilon>0\) dado é possível encontrar uma ordem p, a partir da qual se tem a desigualdade indicada...

Ora, \(\left| \frac{n}{2n+1}-\frac 12\right| = \frac{1}{4n+2}\), pelo que queremos ver a partir de que valor de n se tem

\(\frac{1}{4n+2}< \varepsilon \Leftrightarrow 4n+2 > \frac{1}{\varepsilon} \Leftrightarrow n > \frac{1/\varepsilon -2}{4}\)

Assim, podemos escolher \(p\) como sendo o menor natural maior que \(\frac{1/\varepsilon -2}{4}\), o que conclui a demonstração (para cada \(\varepsilon\) conseguimos indicar um \(p\)).