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\(x_n+\frac{1}{x_n}\geq 2 \Leftrightarrow x_n^2+1\geq 2x_n\Leftrightarrow x_n^2-2x_n+1\geq 0\Leftrightarrow (x_n-1)^2\geq 0\).
Portanto ficamos a saber que \(x_{n}\geq 1\) para todo o \(n\). Daqui facilmente se deduz que \((x_n)\) é decrescente (\(x_{n}\geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x_n}\leq x_n\) logo \(x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)\leq x_n\)).
Sendo \((x_n)\) decrescente e minorada (\(x_{n}\geq 1\) para todo o \(n\)) temos que \((x_n)\) é convergente (tem limite). Seja \(L\) o limite de \((x_n)\) então:

\(L=\lim x_n=\lim x_{n+1}=\lim \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)=\frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right)\)

donde tiramos que \(L=1/L\) logo \(L=1\) (\(L\) não pode ser -1 pois \(x_{n}\geq 1\) para todo o \(n\)).

Esta questão pode ser resolvida sem a sugestão dada?

Por exemplo não se pode afirmar que ela é convergente desta forma:
\(x_{n+1}-x_n\geq 0\) ? Isto só se utiliza para a monotonia?

Não sei se percebi bem a sua questão. Em geral uma sucessão dada por recorrência não é necessariamente convergente, por exemplo \(x_{n+1}=-x_n\) com \(x_0=1\) não é convergente nem monótona (é fácil ver que \(x_n=(-1)^n\)). Assim se quisermos calcular o limite de uma sucessão definida por recorrência \(x_{n+1}=f(x_n)\) através do método do ponto fixo: \(L=\lim x_n=\lim x_{n+1}=\lim f(x_n)=f(L)\) só pode ser feito após demonstrar-se que a sucessão \((x_n)\) é convergente. Por exemplo, se o método fosse aplicado à sucessão \(x_{n+1}=-x_n\) com \(x_0=1\) teríamos \(L=-L\) logo o limite seria 0 mas a sucessão não é convergente. O mesmo acontece com a sucessão \(x_{n+1}=2x_n+1\) com \(x_0=0\) que na verdade tende para infinito mas pelo método do ponto fixo o limite seria -1.

Por isso é que temos de demonstrar a convergência da sucessão por métodos indiretos, por exemplo mostrando que é monótona e limitada.

Era disso que eu queria ter a certeza, obrigado.

Muito Obrigada!