Série de Taylor e raio de convergência

[Estudioso]

Bom dia a todos!

Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor de a.

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\,\,a=9\)

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Chegue aqui: \(\sum_{x=0}^{\infty }\frac{\frac{1}{3}}{n!}(x-9)^{n}\)

Gostaria de saber se estou correto até aqui. Alguém pode me dizer qual o raio de convergência por favor?

Agradeço

[Sobolev]

O seu desenvolvimento em série não está correcto... Comece por notar que

\(f(x)=x^{-1/2}
f'(x)=-\frac 12 x^{-3/2}
f''(x) = (-\frac 12) \times -(\frac 32) \times x^{-5/2}
f'''(x)=(-\frac 12) \times -(\frac 32) \times (-\frac 52) \times x^{-7/2}
\vdots
f^{(n)}(x)= \frac{(-1)^n}{2^n} \cdot (1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)) x^{-\frac{2n+1}{2}}\)

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\(f^{(n)}(9) = \frac{(-1)^n}{3 \times 18^n} \cdot (1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1))\)

e portanto

\(f(x)=\frac 13 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 \times 18^n} \cdot (1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)) \frac{(x-9)^n}{n!}\)

O raio de convergência é calculado do modo habitual como \(r = \lim \frac{a_n}{a_{n+1}}\)

[Estudioso]

Erro feio o meu com o cálculo da derivada n-ésima de f(x)

Me ajuda com o limite por favor para o cálculo do raio de convergência.

Agradeço

[pedrodaniel10]

Pegando no que o Sabolev fez:

\(a_n=\frac{(-1)^n\cdot 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{3\cdot 18^n\cdot n!}\)

Pelo que:

\(r=\lim\left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right |=\lim \left |\frac{\frac{(-1)^n\cdot 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{3\cdot 18^n\cdot n!}}{\frac{-(-1)^{n}\cdot 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{18\cdot3\cdot 18^n\cdot n!\cdot (n+1)}} \right |=\left | \frac{18\cdot(n+1)}{-(2n+1)} \right |=\lim\frac{18n+18}{2n+1}=9\)

[Sobolev]

Poderia ver à partida que 9 seria o valor máximo de raio de convergência, já que em x=0 a função tem uma singularidade.

[MaoMorta]

Errata:

No final da equação do angulo de convergência : \(=\frac{18n +18}{2n+1} = 9\) ,

o autor pedrodaniel10 quis dizer \(=\frac{18n +18}{2(n+1)} = 9\)

( erro de digitação e impossibilidade de correção)

[Sobolev]

Os cálculos do Pedro estão correctos. Ele afirma que

\(\lim \dfrac{18n+18}{2n+1}=9,\)

o que é verdade. A igualdade significa que conforme vamos aumentando o valor de n, o valor do quociente vai-se aproximando de 9.

[MaoMorta]

Ok! E a equação : \(3* 18^n\) que resulta de \(2^n9^{-\frac{2n+1}{2}\) também esta certa?

[MaoMorta]

Perdão, que resulta de \(2^n9^{\frac{2n+1}{2}\)

[MaoMorta]

Esta certa, sim! Peço desculpa pelo lapso.