Erro feio o meu com o cálculo da derivada n-ésima de f(x)
Me ajuda com o limite por favor para o cálculo do raio de convergência.
Agradeço
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| Série de Taylor e raio de convergência https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=12240 |
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| Autor: | Estudioso [ 17 jan 2017, 14:35 ] |
| Título da Pergunta: | Série de Taylor e raio de convergência |
Bom dia a todos! Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor de a. \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\,\,a=9\) --------------------------------------------------------------- Chegue aqui: \(\sum_{x=0}^{\infty }\frac{\frac{1}{3}}{n!}(x-9)^{n}\) Gostaria de saber se estou correto até aqui. Alguém pode me dizer qual o raio de convergência por favor? Agradeço |
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| Autor: | Sobolev [ 17 jan 2017, 16:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
O seu desenvolvimento em série não está correcto... Comece por notar que \(f(x)=x^{-1/2} f'(x)=-\frac 12 x^{-3/2} f''(x) = (-\frac 12) \times -(\frac 32) \times x^{-5/2} f'''(x)=(-\frac 12) \times -(\frac 32) \times (-\frac 52) \times x^{-7/2} \vdots f^{(n)}(x)= \frac{(-1)^n}{2^n} \cdot (1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)) x^{-\frac{2n+1}{2}}\) Logo \(f^{(n)}(9) = \frac{(-1)^n}{3 \times 18^n} \cdot (1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1))\) e portanto \(f(x)=\frac 13 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 \times 18^n} \cdot (1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1)) \frac{(x-9)^n}{n!}\) O raio de convergência é calculado do modo habitual como \(r = \lim \frac{a_n}{a_{n+1}}\) |
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| Autor: | Estudioso [ 18 jan 2017, 02:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Erro feio o meu com o cálculo da derivada n-ésima de f(x) Me ajuda com o limite por favor para o cálculo do raio de convergência. Agradeço |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 18 jan 2017, 02:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Pegando no que o Sabolev fez: \(a_n=\frac{(-1)^n\cdot 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{3\cdot 18^n\cdot n!}\) Pelo que: \(r=\lim\left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right |=\lim \left |\frac{\frac{(-1)^n\cdot 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{3\cdot 18^n\cdot n!}}{\frac{-(-1)^{n}\cdot 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{18\cdot3\cdot 18^n\cdot n!\cdot (n+1)}} \right |=\left | \frac{18\cdot(n+1)}{-(2n+1)} \right |=\lim\frac{18n+18}{2n+1}=9\) |
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| Autor: | Sobolev [ 18 jan 2017, 08:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Poderia ver à partida que 9 seria o valor máximo de raio de convergência, já que em x=0 a função tem uma singularidade. |
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| Autor: | MaoMorta [ 19 jan 2017, 10:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Errata: No final da equação do angulo de convergência : \(=\frac{18n +18}{2n+1} = 9\) , o autor pedrodaniel10 quis dizer \(=\frac{18n +18}{2(n+1)} = 9\) ( erro de digitação e impossibilidade de correção) |
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| Autor: | Sobolev [ 19 jan 2017, 11:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Os cálculos do Pedro estão correctos. Ele afirma que \(\lim \dfrac{18n+18}{2n+1}=9,\) o que é verdade. A igualdade significa que conforme vamos aumentando o valor de n, o valor do quociente vai-se aproximando de 9. |
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| Autor: | MaoMorta [ 19 jan 2017, 11:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Ok! E a equação : \(3* 18^n\) que resulta de \(2^n9^{-\frac{2n+1}{2}\) também esta certa? |
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| Autor: | MaoMorta [ 19 jan 2017, 11:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Perdão, que resulta de \(2^n9^{\frac{2n+1}{2}\) |
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| Autor: | MaoMorta [ 19 jan 2017, 12:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Série de Taylor e raio de convergência |
Esta certa, sim! Peço desculpa pelo lapso. |
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