Série de Taylor e raio de convergência (cosh(x))

[Estudioso]

Encontre a série de Taylor de f(x) = cosh(x) centrada no valor de a = 0. Qual o seu raio de convergência?

Agradeço

[pedrodaniel10]

Usando análise complexa e sabendo a série Maclaurin do cos:
\(\cosh(z)=\cos(iz)=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n(iz)^{2n}}{2n!}=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1)^n\cdot (-1)^nz^{2n}}{2n!}=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{z^{2n}}{2n!}\)

Como a função não tem nenhuma singularidade a série de Taylor é válida em C. Desta forma é válida no eixo dos reais.

De outra forma sem utilizar análise complexa sabendo a série Taylor do exponencial:

\(\cosh(x)=\frac{1}{2}\left ( e^x+e^{-x} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^n}{n!}+(-1)^n\cdot \frac{x^n}{n!}\right )\)

para n=2n (n par)
\(\frac{1}{2}\left ( \sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^{2n}}{2n!}+ \frac{x^{2n}}{2n!}\right )=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{2n!}\)

para n=2n+1 (n ímpar)
\(\frac{1}{2}\left ( \sum_{n=0}^{+\infty } \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}- \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right )=0\)

Pelo que:
\(\cosh(x)=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{2n!}\)

Pela forma tradicional, a derivada vai alternando entre cosh e sinh pelo que:
\(f^{(n)}(0)=\begin{cases} 1 & \text{ se n par} \\ 0 & \text{ se n impar} \end{cases}\)

Ficando apenas os elementos pares.
\(\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{2n!}=1\cdot \frac{x^0}{\cdot 0!}+0\cdot \frac{x^1}{1!}+1\cdot \frac{x^2}{2!}+...\)