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MensagemEnviado: 18 fev 2017, 15:05 
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Uma sequência de números inteiros é tipo Fibonacci, se cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. Em uma sequência tipo Fibonacci, na qual o terceiro e o quinto termos valem 9 e 25, respectivamente, se dividirmos o trigésimo e o centésimo termos por 4, obteremos restos, cuja soma é: (Sem gabarito)

A) 4
B) 6
C) 1
D) 3
E) 5


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MensagemEnviado: 19 fev 2017, 17:21 
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Esta sucessão é: 2,7,9,16,25,41,...
Pelo que a sucessão dos restos da divisão por 4 são: r=2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,3....

Para \(n\geq 1,\: ,\in \mathbb{N}\)

\(\left\{\begin{matrix} r_{6n+1}=3\\ r_{6n+2}=1\\ r_{6n+3}=0\\ r_{6n+4}=1\\ r_{6n+5}=1\\ r_{6n+6}=2 \end{matrix}\right.\)

30 é divisível por 6, pelo que 5*6=30. Então o termo 30º dividido por 4 dá resto 2.
100 dividido por 6 dá resto 4. Então o termo 100º dividido por 4 dá resto 1.

2+1=3 pelo que a resposta é D)


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MensagemEnviado: 19 fev 2017, 23:32 
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Pedro, não entendi muito bem, poderia esclarecer alguns pontos?

Pelo que demonstrou, existe um padrão na divisão por 4: 2,3,1,0,1,1...2,3,1,0,1,1,1...

Você encontrou r30 em r (6.24+6) = 2 e r100 =(6.16)+4=1?

Por que utilizar o 6 como divisor e não o 3?

Verificando no excel e na calculadora seu resultado não confere:

30 termo = 4235225 : resto 1

100 termo = 1803064675531300000000 : resto 0

Percebi também que os termos 71,72, 73 fogem a seqüência padrão e a partir do 74 até 100 temos apenas resto 0.

Desde já grato pela atenção.


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MensagemEnviado: 19 fev 2017, 23:57 
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Tem razão, enganei-me ao fazer a sucessão r:

\(\left\{\begin{matrix} r_{6n+1}=2\\ r_{6n+2}=3\\ r_{6n+3}=1\\ r_{6n+4}=0\\ r_{6n+5}=1\\ r_{6n+6}=1 \end{matrix}\right.\)

Divido por 6 porque n é multiplicado por 6 e adicionado um número. Como 6 divide 30 logo 30%6=0, e 6n+6 é divisível por 6 (resto =0) e desta forma r30=1.
100 dividido por 6 dá resto 4. 6n+4 dividido por 6 dá resto 4 e por isso r100=0

A sucessão funciona para os restos. Sendo que o primeiro termo é 2 e o segundo é 7.
2mod4=2
7mod4=3
2+3=5, 5mod4=1
3+1=4, 4mod4=0
1+0=1, 1mod4=1
0+1=1, 1mod4=1
1+1=2, 2mod4=2
1+2=3, 3mod4=3
2+3=5, 5mod4=1
...
E assim se repete.

Obs: 100 termo = 1803064675531299675280
Feito em python.
Spoiler:
1: 2: 2
2: 3: 7
3: 1: 9
4: 0: 16
5: 1: 25
6: 1: 41
7: 2: 66
8: 3: 107
9: 1: 173
10: 0: 280
11: 1: 453
12: 1: 733
13: 2: 1186
14: 3: 1919
15: 1: 3105
16: 0: 5024
17: 1: 8129
18: 1: 13153
19: 2: 21282
20: 3: 34435
21: 1: 55717
22: 0: 90152
23: 1: 145869
24: 1: 236021
25: 2: 381890
26: 3: 617911
27: 1: 999801
28: 0: 1617712
29: 1: 2617513
30: 1: 4235225
31: 2: 6852738
32: 3: 11087963
33: 1: 17940701
34: 0: 29028664
35: 1: 46969365
36: 1: 75998029
37: 2: 122967394
38: 3: 198965423
39: 1: 321932817
40: 0: 520898240
41: 1: 842831057
42: 1: 1363729297
43: 2: 2206560354
44: 3: 3570289651
45: 1: 5776850005
46: 0: 9347139656
47: 1: 15123989661
48: 1: 24471129317
49: 2: 39595118978
50: 3: 64066248295
51: 1: 103661367273
52: 0: 167727615568
53: 1: 271388982841
54: 1: 439116598409
55: 2: 710505581250
56: 3: 1149622179659
57: 1: 1860127760909
58: 0: 3009749940568
59: 1: 4869877701477
60: 1: 7879627642045
61: 2: 12749505343522
62: 3: 20629132985567
63: 1: 33378638329089
64: 0: 54007771314656
65: 1: 87386409643745
66: 1: 141394180958401
67: 2: 228780590602146
68: 3: 370174771560547
69: 1: 598955362162693
70: 0: 969130133723240
71: 1: 1568085495885933
72: 1: 2537215629609173
73: 2: 4105301125495106
74: 3: 6642516755104279
75: 1: 10747817880599385
76: 0: 17390334635703664
77: 1: 28138152516303049
78: 1: 45528487152006713
79: 2: 73666639668309762
80: 3: 119195126820316475
81: 1: 192861766488626237
82: 0: 312056893308942712
83: 1: 504918659797568949
84: 1: 816975553106511661
85: 2: 1321894212904080610
86: 3: 2138869766010592271
87: 1: 3460763978914672881
88: 0: 5599633744925265152
89: 1: 9060397723839938033
90: 1: 14660031468765203185
91: 2: 23720429192605141218
92: 3: 38380460661370344403
93: 1: 62100889853975485621
94: 0: 100481350515345830024
95: 1: 162582240369321315645
96: 1: 263063590884667145669
97: 2: 425645831253988461314
98: 3: 688709422138655606983
99: 1: 1114355253392644068297
100: 0: 1803064675531299675280
101: 1: 2917419928923943743577


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MensagemEnviado: 20 fev 2017, 13:22 
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Olá Pedro, muito grato pelos esclarecimentos, agora compreendi.
Realmente o a100 que você postou está correto. Não sei por que razão o excel a partir do termo 71 começa a apresentar resultados diferentes, talvez pelo tamanho do número.


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MensagemEnviado: 20 fev 2017, 19:42 
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É normal, segundo as especificações da Microsoft, a precisão de um número no Excel está limitado a 15 dígitos (~50 bits).


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