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| sequencia fibonacci com naturais maiores do que 3 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=11&t=13393 |
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| Autor: | marcosyandex [ 20 nov 2017, 23:40 ] |
| Título da Pergunta: | sequencia fibonacci com naturais maiores do que 3 |
Uma sequência crescente de números inteiros a1, a2, a3, ..., é tal que an = an - 1 + an - 2 (Fibonacci), com n ≥3. Se a5=59, o maior valor possível para a1 é: |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 21 nov 2017, 00:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequencia fibonacci com naturais maiores do que 3 [resolvida] |
Seja \(a_1=A\) e \(a_2=B\), então \(a_3=A+B\), \(a_4=A+2B\) e \(a_5=2A+3B\). O que se pretende é maximizar \(A\) sob as condições \(A,B\in\mathbb{Z}\) (pois é dito que \(a_n\) é uma sucessão de inteiros), \(A\le B\) (pois é dito que a sucessão é crescente) e \(2A+3B=59\) (pois é dito que \(a_5=59\)). Temos, portanto, que \(5A\le 2A+3B=59 \Rightarrow A\le 11,8\), logo no máximo \(A\) é 11. Mas \(A\) não pode ser 11, porque senão \(B=\frac{59-2A}{3}=\frac{37}{3}\) não seria inteiro, logo \(A\) é no máximo 10. E de facto, \(A\) pode ser 10, com \(B=13\) temos \(a_1=10\), \(a_2=13\), \(a_3=23\), \(a_4=36\) e \(a_5=59\) (e não é difícil demonstrar por indução que se trata de uma sucessão crescente de números inteiros). Concluindo, a resposta é 10. |
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| Autor: | marcosyandex [ 21 nov 2017, 01:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequencia fibonacci com naturais maiores do que 3 |
Muito obg camarada! |
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| Autor: | jorgeluis [ 21 nov 2017, 03:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: sequencia fibonacci com naturais maiores do que 3 |
marcosyandex, curiosidades da sequencia fibonacci: 1) a soma de 2 termos anteriores definem o termo seguinte. exemplo: 0,1,1,2,3,5,8,... \(1+1=2 1+2=3 2+3=5\) 2) a sequencia segue a ordem: par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, ... 3) a razão entre 2 termos consecutivos, sempre se aproxima de \(\Phi=1,6\) a partir do 5o termo: exemplo: 0,1,1,2,3,5,8,13, ... \(\frac{5}{3}=1,6 \frac{8}{5}=1,6 \frac{13}{8}=1,6\) com essas informações você poderia achar os termos anteriores a \(a_5=59\): \(a_4=\frac{59}{1,6} a_4\approx 36,8\) importante: não arredondar, simplesmente, cortar a casa decimal. \(a_4=36\) \(a_3+a_4=a_5 a_3=59-36 a_3=23\) \(a_2+a_3=a_4 a_2=36-23 a_2=13\) e assim continua... |
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