sequencia fibonacci com naturais maiores do que 3

[marcosyandex]

Uma sequência crescente de números inteiros
a1, a2, a3, ..., é tal que an = an - 1 + an - 2 (Fibonacci), com n ≥3.
Se a5=59, o maior valor possível para a1 é:

[Rui Carpentier]

Seja \(a_1=A\) e \(a_2=B\), então \(a_3=A+B\), \(a_4=A+2B\) e \(a_5=2A+3B\). O que se pretende é maximizar \(A\) sob as condições \(A,B\in\mathbb{Z}\) (pois é dito que \(a_n\) é uma sucessão de inteiros), \(A\le B\) (pois é dito que a sucessão é crescente) e \(2A+3B=59\) (pois é dito que \(a_5=59\)).
Temos, portanto, que \(5A\le 2A+3B=59 \Rightarrow A\le 11,8\), logo no máximo \(A\) é 11. Mas \(A\) não pode ser 11, porque senão \(B=\frac{59-2A}{3}=\frac{37}{3}\) não seria inteiro, logo \(A\) é no máximo 10. E de facto, \(A\) pode ser 10, com \(B=13\) temos \(a_1=10\), \(a_2=13\), \(a_3=23\), \(a_4=36\) e \(a_5=59\) (e não é difícil demonstrar por indução que se trata de uma sucessão crescente de números inteiros).
Concluindo, a resposta é 10.

[marcosyandex]

Muito obg camarada!

[jorgeluis]

marcosyandex,
curiosidades da sequencia fibonacci:
1) a soma de 2 termos anteriores definem o termo seguinte. exemplo: 0,1,1,2,3,5,8,...
\(1+1=2
1+2=3
2+3=5\)

2) a sequencia segue a ordem:
par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, ...

3) a razão entre 2 termos consecutivos, sempre se aproxima de \(\Phi=1,6\) a partir do 5^o termo:
exemplo: 0,1,1,2,3,5,8,13, ...
\(\frac{5}{3}=1,6
\frac{8}{5}=1,6
\frac{13}{8}=1,6\)

com essas informações você poderia achar os termos anteriores a \(a_5=59\):

\(a_4=\frac{59}{1,6}
a_4\approx 36,8\)
importante: não arredondar, simplesmente, cortar a casa decimal.
\(a_4=36\)

\(a_3+a_4=a_5
a_3=59-36
a_3=23\)

\(a_2+a_3=a_4
a_2=36-23
a_2=13\)

e assim continua...