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Ola,

De uma forma geral, não consigo arrancar na resolução do seguinte exercício:

Seja \(U_{n}\) uma sequência real definida pelo \(U_{0}=0\) e pela relação recursiva \(U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+12;}\) para todo n \(\epsilon\) IN:

1) Calcule \(U_{n}\) por \(1\leq n\leq 5\) (obter resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente)

2) Demonstre que, por todo n \(\epsilon\) IN, obteremos \(U_{n}< 4\)

3) Demonstre que a sequência \(U_{n}\) é estritamente crescente.

4-a) Demonstre que obtemos : \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\), por todo n \(\epsilon\) IN.

4-b) Demonstre que obtemos \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\)

Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.

Boas

Se \(u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+12}\) e \(u_0=0\)

basta ir fazendo as contas até chegar a \(u_5\)

\(u_1=\sqrt{u_{0}+12}=\sqrt{0+12}=\sqrt{12}\)

\(u_2=\sqrt{u_{1}+12}=\sqrt{\sqrt{12}+12}\)

\(u_3=\sqrt{u_{2}+12}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}\)

\(u_4=\sqrt{u_{3}+12}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}+12}\)

e finalmente

\(u_5=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{12}+12}+12}+12}+12}\)

este é o valor exato, para chegar a uma aproximação, é só fazer as contas...

____

Para demonstrar que \(u_n < 4 \forall n \in \mathbb{N}\) podemos usar indução matemática:

Base: é válido para \(n=0\) pois \(u_0=0 < 4\)

Passo: Se é válido para \(n\) então também é válido para \(n+1\)

ora se \(u_n<4\) então:

\(u_n+12<16 \Leftrightarrow \sqrt{u_n+12}<\sqrt{16} \Leftrightarrow u_{n+1} < 4\)

como queríamos demonstrar

para demonstrar que \(u_n\) é estritamente crescente basta provar que

\(u_{n+1}-u_{n}>0\)

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Ola, mais uma vez muito obrigado pela ajuda. Consegui avançar no seguinte, ou seja uma parte foi na base dos conselho indicados na tua resposta:

1) Calculo de (Un)

\(u_{0}=0\)

\(u_{1}=3,46410\)

\(u_{2}=3,93244\)

\(u_{3}=3,99155\)

\(u_{4}=3,99894\)

\(u_{5}=3,99987\)

Resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente.

\(u_{0}=0*10^{-5}=0\)

\(u_{1}=346410*10^{-5}\)

\(u_{2}=393244*10^{-5}\)

\(u_{3}=399155*10^{-5}\)

\(u_{4}=399894*10^{-5}\)

\(u_{5}=399987*10^{-5}\)

então \(1\leq n\leq 5\) tendo em conta resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente.

\(u_{1}=346410*10^{-5}\) e \(u_{5}=399987*10^{-5}\)

o que significa que \(346410*10^{-5}\) \(\leq n\leq\) \(399987*10^{-5}\)

Gostava de contar com o teu conselho em relação aos passos dado ate aqui.

Os resultados numéricos aparentam estar corretos, mas fazes alguma confusão nos conceitos matemáticos

Isto está incorreto:
\(346410*10^{-5}\leq n\leq 399987*10^{-5}\)

O terno \(n\) pertence aos naturais e é tão-somente 1,2,3,4,5,6,7..., assim não é verdade que por exemplo para n=7
\(346410*10^{-5}\leq 7 \leq 399987*10^{-5}\)

O que podes claramente reparar é que:

\(u_{1}<4\)

\(u_{2}<4\)

\(u_{5}<4\)

e como já foi demonstrado

\(u_{n}<4, \forall n\)

Não confundas o \(n\) (índice da série que é não mais que números naturais 1,2,3,4....) com o \(u_{n}\) que é o valor da sucessão para aquele valor específico de \(n\)

É como numa função, não confundir o \(x\) com o \(f(x)\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Ola,

De uma forma geral, não consigo arrancar na resolução do seguinte exercício:

Seja \(U_{n}\) uma sequência real definida pelo \(U_{0}=0\) e pela relação recursiva \(U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+12;}\) para todo n \(\epsilon\) IN:

1) Calcule \(U_{n}\) por \(1\leq n\leq 5\) (obter resultados a \(10^{-5}\) aproximadamente)

2) Demonstre que, por todo n \(\epsilon\) IN, obteremos \(U_{n}< 4\)

3) Demonstre que a sequência \(U_{n}\) é estritamente crescente.

4-a) Demonstre que obtemos : \(4-U_{n+1}< \frac{4-U_{n}}{4}\), por todo n \(\epsilon\) IN.

Boa noite,
Tenho avançar de uma forma geral na resolução destes exercícios mas no entanto estou com dificuldades no exercício 4-a).
Pelo que agradeço um ajudinha no que me poderia desbloquear...

Sei que já demonstramos que \(u_{n}< 4\) e tambem \(u_{n+1}> u_{n}\)
Mas não consigo encaixar as coisas ...

\(4-u_{n+1}<\frac{4-u_n}{4}\)

Multiplicando tudo por \({4}\) e sabendo que \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}\)

\(16 - 4 \sqrt{u_n+12} < 4 -u_n\)

\(12 - 4 \sqrt{u_n+12} < -u_n\)

\(4 \sqrt{u_n+12} > u_n +12\)

Como ambas as parcelas são maior que zero, podemos fazer o quadrado dos dois lados

\((4 \sqrt{u_n+12})^2 > (u_n +12)^2\)

\(16 (u_n+12) > (u_n +12)^2\)

\(16 > u_n +12\)

\(u_n < 4\)

como já havíamos demonstrado

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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