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 Título da Pergunta: Dúvidas Séries
MensagemEnviado: 23 nov 2011, 16:50 
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Boa tarde,

Estou a ter dificuldades em resolver estes três exercícios, alguém me pode ajudar?

Obrigado.
Abraço
NSilva


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 Título da Pergunta: Re: Dúvidas Séries
MensagemEnviado: 24 nov 2011, 02:03 
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Meu caro, é recomendável que coloque um post por cada pergunta e não coloque num único post várias perguntas.
Se não qq dia colocam-nos aqui num único post um exame para resolvermos

Em relação à pergunta 6 posso dizer:

se \(\lim_{n\to\infty}na_n=a >0\) então é equivalente a

\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n}}=a>0\)

Então podemos afirmar pelo critério da comparação, como o limite dá um número finito maior que zero (a>0), que \(\sum a_n\) e \(\sum\frac{1}{n}\) têm a mesma natureza

Como se sabe que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) é divergente (Função zeta de Riemann para s=1; ou através do critério do integral)
Então, porque as duas séries têm a mesma natureza, a série \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) também será divergente

Cumprimentos e volte sempre (c uma pergunta por post :) )

PS: recomendo a todos que usem LaTex. Vejam se puderem http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/LaTeX:Commands
PS2: Quando puder respondo-lhe às outras perguntas

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: Dúvidas Séries
MensagemEnviado: 24 nov 2011, 03:04 
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Em relação à pergunta 5a, recomendo que leia o critério de Leibniz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teste_da_s%C3%A9rie_alternada

ou seja

Considerando a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+(-1)^{n+1}}\)

consideramos então essa série na forma de Leibniz, ou seja \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n.b_n\) em que \(b_n=\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}\)

Se provarmos que \(b_n\) é decrescente e o seu limite tende para zero então a série é convergente

Para provarmos que \(b_n\) é decrescente tem que se provar \(b_{n+1}-b_n<0\)

Ou seja

\(\frac{1}{(n+1)^2+(-1)^{n+2}}-\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}=\)

\(=\frac{1}{(n+1)^2+(-1)^n}-\frac{1}{n^2-(-1)^n}=\)

\(=\frac{n^2-(-1)^n-(n+1)^2)-(-1)^n}{((n+1)^2+(-1)^n).(n^2-(-1)^n)}=\)

\(=-\frac{2n+1+2(-1)^n}{((n+1)^2+(-1)^n).(n^2-(-1)^n)}=\)

\(=-\frac{c_n}{d_n\times e_n}\)

É fácil provar que quer \(c_n\), \(d_n\) e \(e_n\) são todas positivas para \(n\geq 1\), logo \(-\frac{c_n}{d_n\times e_n}<0\) e prova-se que \(b_n\) é decrescente

Basta agora apenas provar que \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)

é fácil provar que \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+(-1)^{n+1}}=\frac{1}{\infty}=0\)

Assim a série é convergente

Para sabermos se a série é absolutamente ou simplesmente convergente basta calcular a natureza da série

\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)

Volte sempre :)

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 Título da Pergunta: Re: Dúvidas Séries
MensagemEnviado: 24 nov 2011, 10:25 
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Bom dia,
Obrigado pela ajuda.
Vou analisar e tentar perceber.

Desde já peço desculpa pelas várias perguntas no mesmo post, é o que faz ser novato.

Abraço
NSilva


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 Título da Pergunta: Re: Dúvidas Séries
MensagemEnviado: 24 nov 2011, 16:18 
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caríssimo, respondo-lhe agora à pergunta 5b)

Utilizando o critério de Leibniz

\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n\)

Neste caso \(b_n=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}}\)

é fácil comprovar que \(b_n\) é monótona decrescente pois o numerador vai diminuindo e o denominador vai crescendo quando \(n\to\infty\)

Assim basta calcular

\(\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1+0}{\infty}=0\)

Assim a série é convergente

Em relação à última pergunta terá de o colocar num post diferente :)

Volte sempre

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