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Qual a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}\) ?

Usando o critério da razão verá que a série é absolutamente convergente se |x| < 1 e divergente se |x|>1. Quando |x|=1, isto é, quando x = -1 ou x=1, temos que fazer um estudo directo.

Se x=-1 obtemos a série

\(\sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n-1} (-1)^n}{n} = - \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n}\)

sendo portanto divergente (série harmónica).

Se x = 1 obtemos a série

\(\sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n-1} (1)^n}{n} = \sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^n}{n}\)

que é simplesmente convergente (série harmónica alternada).

Assim, a série em causa é:

Absolutamente convergente se \(x \in ]-1,1[\)

Divergente se \(x\in ]-\infty, -1] \cup ]1,+\infty[\)

Simplesmente convergente se x = 1.