Serie converge ou diverge?

[cloud460]

\(\sum \frac{cos(e^n)}{n^{3/2}}\)

Alguma dica?

[Walter R]

\(a_n = (cos(e^n))\) é uma sequencia limitada, pois \(|cos(e^n)| \le 1\). Além disso, \(b_n=\frac{1}{n\sqrt{n}}\) é uma sequencia não-crescente de números positivos, com \(\lim b_n=0\). Logo, pelo Critério de Dirichlet, a série \(\sum a_n b_n=\sum \frac{cos(e^n)}{n\sqrt{n}}\) converge.

[cloud460]

alguma outra solução?

[Man Utd]

\(a_n = (cos(e^n))\) é uma sequencia limitada, pois \(|cos(e^n)| \le 1\). Além disso, \(b_n=\frac{1}{n\sqrt{n}}\) é uma sequencia não-crescente de números positivos, com \(\lim b_n=0\). Logo, pelo Critério de Dirichlet, a série \(\sum a_n b_n=\sum \frac{cos(e^n)}{n\sqrt{n}}\) converge.

Walter R, para usar o critério de Dirichlet vc teria que provar que a soma parcial \(\sum_{n=1}^{k} \;cos(e^n)\) é limitada por uma constante e não que a sequência \(a_{n}=cos(e^n)\) é limitada.


Pode aplicar o critério da comparação :

\(-1 \leq cos (e^{n} ) \leq 1\)


\(-\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{ cos (e^{n} )}{n^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)



Como a série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \; \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) converge pois é uma " série p " cujo expoente de "n" é maior que 1,Então a série \(\sum \frac{cos(e^n)}{n\sqrt{n}}\) tbm converge.

[cloud460]

Obg pelas respostas
Ajudou bastante

[Walter R]

Boa noite, Man Utd!
De fato, tens razão na tua observação. Mas acho que podemos considerar que \(\sum_{n=1}^k cos(e^n)\le 1+1+....+1\) (k vezes),portanto o Critério de Dirichlet ainda é útil neste caso, concordas?
Abraço!

[Man Utd]

Boa noite, Man Utd!
De fato, tens razão na tua observação. Mas acho que podemos considerar que \(\sum_{n=1}^k cos(e^n)\le 1+1+....+1\) (k vezes),portanto o Critério de Dirichlet ainda é útil neste caso, concordas?
Abraço!

Não pode porque isso implica que \(\sum_{n=1}^k cos(e^n)\leq k\), isto é a nossa constante que limita a soma parcial depende do valor de "k" que pertence a soma parcial.

[Walter R]

Ok, então parece que o melhor caminho é mesmo utilizar o critério da comparação. Obrigado!