Fórum de Matemática
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Resolva:
\(\sum_{k=3}^{\infty}= \frac{1}{k^2-k}\)
Resolução: \(\sum_{k=3}^{\infty}=(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=\lim_{n \mapsto +\infty }(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}\)
Não percebo como chegaram ao 2º passo (o limite)

Olá :D



Foi aplicado frações parciais em \(\frac{1}{k^2-k}\) obtendo \(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\) .Logo:



\(\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k^2-k}=\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)


Como \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\sum_{k=3}^{+\infty} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\).


Veja que :

\(\sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)


Veja que os termos vão se cancelando (Pesquise sobre série telescópica) ficando somente :


\(\sum_{k=3}^{n+2} \; \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\)



logo :


\(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=3}^{n+2} = \lim_{n \to +\infty} \; \frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\fbox{\fbox{\fbox{\frac{1}{2}}}}\)