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Boa noite. Resolvi esta série e não dá o valor que aparece nas soluções \(\frac{-39}{12}\)
\(\sum_{n\geq 1}^{+\infty}(\frac{-3}{2^n}+\frac{2}{(-3)^{n+1}}-\frac{1}{4^{n+2}})=-3\sum(\frac{1}{2})^{n}-\frac{2}{3}\sum (\frac{-1}{3})^{n}-\frac{1}{16}\sum (\frac{1}{4})^n=-3*\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}*\frac{\frac{-1}{3}}{1+\frac{1}{3}}-\frac{1}{16}*\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{-137}{48}\)

Veja o resultado conforme wolfram.