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Não sei como hei-de fazer este cálculo, agradecia ajuda.
Obrigado.

O integral e a série são operadores lineares, logo são permutáveis.
Repare ainda como o integral não depende de \(n\), que a parcela em \(n\) pode vir para fora do integral.

\(\int_0^{\pi/2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}sen(n.x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\int_0^{\pi/2}sen(n.x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \left[\frac{(-cos(n.x))}{n} \right]_0^{\pi/2}=\)

\(=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \left(\frac{cos(0)-cos(\pi/2.n)}{n} \right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} (1-cos(\pi/2.n))=...\)

trata-se de um infinitésimo convergente \(\frac{1}{n^3}\) vezes uma parcela limitada pois \(|1-cos(\pi/2.n)| \leq 1\) logo a série é convergente

para achar \(f'(x)\) basta usar a derivada normalmente pois a derivada da soma é a soma das derivadas

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João Pimentel Ferreira
 
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