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Olá pessoal,tudo bem? Galera, poderiam me explicar o porque disso acontecer ?

Sejam as matrizes A e B. A matriz A e chamada de Matriz de Pascal e det(A) = 1.A matriz B e a matriz A, subtraindo uma unidade do elemento a44. Explique porque o det(B) = 0?
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{bmatrix}\) \(B=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 19 \end{bmatrix}\)

Porque não se limita a calcular o determinante da segunda matriz? Poderia dizer-lhe que, ao subtrair uma unidade a esse elemento, a última linha se escreve como determinada combinação linear das primeiras três linhas, mas isso explica o facto tanto quanto calcular directamente o determinante. Na verdade, se calcular o determinante da matriz A em função do elemento \(a_{44}\), verá que 19 é o único valor que poderia fazer o determinante ser nulo.

É um facto conhecido (mas não óbvio) que o determinante da matriz de Pascal de qualquer dimensão é um (i.e. \(\det \left[{i+j \choose i}\right]_{i,j=0,\dots ,n}=1\))

Assim sendo,
\(\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 19 \end{bmatrix}\right)=\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{bmatrix}\right)-\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 6 & 0\\ 1 & 4 & 10 & 1 \end{bmatrix}\right)=\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{bmatrix}\right)-\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix}\right)=1-1=0\)

Muito obrigado sobolev e rui por suas respostas, consegui entender! Abraços!

Rui, poderia explicar como chegou na matriz:
1 1 1 0
1 2 3 0
1 3 6 0
1 4 10 1

?

Obrigado!