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 Título da Pergunta: Mostrar que não é invertível
MensagemEnviado: 30 ago 2014, 20:27 
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Sejam A e B duas matrizes distintas n × n tais que A^2 = B^3 e (A^2)B = (B^2)A. Mostre que
A^2 + B^2 não é invertível.

Por favor, alguém me ajuda... não faço a mínima de como resolver a questão!


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MensagemEnviado: 31 ago 2014, 11:28 
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Comece primeiro por mostrar que B não é invertível.
Como \(A^2B=B^2A \mbox{ e } A^2=B^3 \Rightarrow B^4=B^2A\) se B fosse invertível seria válida a lei do corte, logo \(B^4=B^2A \Rightarrow B^2=A \Rightarrow B^4=A^2=B^3 \Rightarrow B=I\) e portanto \(A=B^2A=A^2B=B^4=I=B\) o que contradiz a hipótese de A e B serem distintas.

Agora é só invocar um resultado que diz que um produto de matrizes é invertível se e só se todos os seus fatores forem invertíveis, uma vez que \(A^2+B^2=B^3+B^2=B^2(B+I)\).


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MensagemEnviado: 31 ago 2014, 18:37 
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Rui Carpentier Escreveu:
Comece primeiro por mostrar que B não é invertível.
Como \(A^2B=B^2A \mbox{ e } A^2=B^3 \Rightarrow B^4=B^2A\) se B fosse invertível seria válida a lei do corte, logo \(B^4=B^2A \Rightarrow B^2=A \Rightarrow B^4=A^2=B^3 \Rightarrow B=I\) e portanto \(A=B^2A=A^2B=B^4=I=B\) o que contradiz a hipótese de A e B serem distintas.

Agora é só invocar um resultado que diz que um produto de matrizes é invertível se e só se todos os seus fatores forem invertíveis, uma vez que \(A^2+B^2=B^3+B^2=B^2(B+I)\).



Pois é, cara... mas, eu errei o enunciado. Na verdade é A^3=B^3. Me desculpe. Mas eu tentarei fazer pensando que A e B não são invertíveis, como vc falou.


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MensagemEnviado: 01 set 2014, 13:49 
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Citar:
Na verdade é A^3=B^3.


Nesse caso sugiro que faça a conta \((A^2+B^2)(A-B)\), tendo em conta as condições \(A^2B=B^2A\) e \(A^3=B^3\).
Depois note que uma matriz invertível não pode ser divisora de zero, ou seja, não pode existir uma matriz não-nula que multiplicada por ela dê a matriz nula.


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