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Olá, gostaria de saber como eu resolvo um determinante 4 x 4 com variável, igual ao da foto anexada por favor.

Pode usar o Teorema de Laplace, desenvolvendo o determinante segundo uma linha ou coluna à sua escolha. se escolher a primeira linha, o determinante que refere pode ser calculado como

\((-1)^{1+1} \cdot (2 -\lambda) \cdot \det \begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 \\0 & 2-\lambda & -1\\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} + (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2-\lambda & -1 \\0 &-1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = \dots = (2-\lambda)^2\left[ (2-\lambda)^2-1)\right] - \left[(2-\lambda)^2-1\right] = \left[(2-\lambda)^2-1\right] \left[(2-\lambda)^2-1\right]
= \left[(2-\lambda)^2-1\right]^2\)