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Olá, me bati para resolver este exercício e não consegui:

A soma de todos os elementos da matriz X, de ordem 2, dada por 2X+X^t=\(\begin{bmatrix} 3 & 8\\ 7 & 0 \end{bmatrix}\) é:

Gabarito: 6

Tentei de diversas maneiras, mas não consegui encontrar a lógica para resolver a questão. É única questão de uma folha de 100 exercícios que eu não consegui de maneira alguma responder. Agradeço tremendamente qualquer encaminhamento.

Olá!

De acordo com o enunciado, a matriz \(\mathsf{X}\) é de ordem 2. Considere-a como sendo \(\mathsf{X = \begin{pmatrix} \mathsf{a} & \mathsf{b} \\ \mathsf{c} & \mathsf{d}\end{pmatrix}}\). Com efeito, \(\mathsf{X^t = \begin{pmatrix} \mathsf{a} & \mathsf{c} \\ \mathsf{b} & \mathsf{d}\end{pmatrix}}\).

Isto posto,

\(\mathsf{2X + X^t = \begin{pmatrix} \mathsf{3} & \mathsf{8} \\ \mathsf{7} & \mathsf{0}\end{pmatrix}}\)

\(2 \cdot \begin{pmatrix} \mathsf{a} & \mathsf{b} \\ \mathsf{c} & \mathsf{d}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mathsf{a} & \mathsf{c} \\ \mathsf{b} & \mathsf{d}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathsf{3} & \mathsf{8} \\ \mathsf{7} & \mathsf{0}\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} \mathsf{2a + a} & \mathsf{2b + c} \\ \mathsf{2c + b} & \mathsf{2d + d}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathsf{3} & \mathsf{8} \\ \mathsf{7} & \mathsf{0}\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} \mathsf{3a} & \mathsf{2b + c} \\ \mathsf{2c + b} & \mathsf{3d}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathsf{3} & \mathsf{8} \\ \mathsf{7} & \mathsf{0}\end{pmatrix}\)

\(\begin{cases} \mathsf{3a = 3} \\ \mathsf{2b + c = 8} \\ \mathsf{2c + b = 7} \\ \mathsf{3d = 0} \end{cases}\)

Resolvendo o sistema acima encontramos \(\fbox{\mathsf{a = 1}}\), \(\fbox{\mathsf{b = 3}}\), \(\fbox{\mathsf{c = 2}}\) e \(\fbox{\mathsf{d = 0}}\).

Logo, concluímos que:

\(\\ \mathsf{a + b + c + d =} \\ \mathsf{1 + 3 + 2 + 0 =} \\ \fbox{\fbox{\mathsf{6}}}\)

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Daniel Ferreira
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