Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sejam A e B matrizes simétricas nxn. Prove que AB=BA se, e só se, AB é simetrica.

A transposta de um produto de matrizes \(AB\) é o produto das transpostas em ordem contrária. Ou seja, \((AB)^t=B^tA^t\). Assim sendo, se \(A\) e \(B\) são matrizes simétricas (i.e. \(A^t=A\) e \(B^t=B\)) então \((AB)^t=BA\).
Logo para matrizes \(A\) e \(B\) simétricas \(AB\) é simétrica (\((AB)^t=AB\)) se e só se \(AB=BA\).