Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, bom dia!

É a primeira vez que participo no fórum. Sou colega do NSilva, e ele falou-me muito bem do vosso fórum.
Espero que também me possam ajudar.
Tenho um exercício de álgebra em que preciso de ajuda.



Obrigado
Rc

Meu caro, bem-vindo ao fórum

Se \(A=\[
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\]\)

\(A^2=A.A=\[
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\]\[
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\]=\[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\]\)


Pode-se ver que \(A^n\) aparenta ser sempre daquela forma

Vamos demonstrar por indução matemática...

\(A^1=A\) é daquela forma em que \(\alpha=\beta=\gamma=1\)

Por indução vamos demonstrar que se \(A^n\) é daquela forma, então também o é \(A^{n+1}\)

\(A^{n+1}=A^n.A=\[
\begin{matrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
0 & \alpha & \beta \\
0 & 0 & \alpha \\
\end{matrix}\]\[
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\]=\[
\begin{matrix}
\alpha & \alpha+\beta & \alpha+\beta+\gamma \\
0 & \alpha & \alpha+\beta \\
0 & 0 & \alpha \\
\end{matrix}\]\)

que também é daquela forma apresentada, demonstrando-se assim o que se pretendia por indução

Em relação à outra alínea terá que colocar noutro tópico...

Seja bem-vindo meu caro

Volte sempre

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Em relação à alínea b) como a matriz A é sempre triangular superior, \(r(A^n)=3\), logo a dimensão é 3

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Esta alínea b) está complicada, talvez não seja o que referi anteriormente pois não é o espaço gerado pelas linhas ou colunas de \(A\), mas antes o espaço gerado pelas diversas matrizes \(A^n\)

Dá que pensar

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Parece-me ser isto...

Repare que qq combinação linear

\(\lambda_0A^0+\lambda_1A^1+\lambda_2A^2+\lambda_3A^3+...+\lambda_nA^n, \lambda_n \in \Re \forall n \in \mathbb{N}_0\)

pode ser escrita nesta forma:

\(k_1\[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix}\]+k_2\[\begin{matrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}\]+k_3\[\begin{matrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}\], k_1,k_2,k_3 \in \Re\)

Assim estas três matrizes formam uma base e a dimensão da base é 3

Acho que é isto

Seja bem-vindo

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}