DETERMINANTES de matrizes 2X2, achar valores DE Y E X

[Gabriela Amaral]

Sendo x e y os determinantes das matrizes \(\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\) e \(\begin{bmatrix} -2a & 2c\\ -3b & 3d \end{bmatrix}\), respectivamente, então, \(\frac{y}{x}\) vale:

a) 36
b) 12
c) -6
d) -12
e) -36

[jorgeluis]

\(det A=det A^{t}\)
\(A\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=A^{t}\begin{vmatrix} a & c\\b & d \end{vmatrix}\)
\(Assim,
det A^{t}=x
ad-bc=x
e
det B=y
-6ad+6bc=y
-6(ad-bc)=y
logo,
\frac{y}{x}=-6\)

valeu Rui!!!

[Sobolev]

Em geral, quando multiplica uma coluna ou linha de uma matriz nxn por uma constante \(\beta\), o seu determinante vem multiplicado por \(\beta\) [corrigido]. Além disso, como já foi referido, o determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta. Assim,

\(\left| \begin{array}{cc}a & b\\ c& d\end{matrix}\right| = \left| \begin{array}{cc}a & c\\ b& d\end{matrix}\right| = \frac{1}{(-2)} \left| \begin{array}{cc}-2a & c\\ -2b& d\end{matrix}\right| =\frac{1} {(-2)\times 3} \left| \begin{array}{cc}-2a & 3c\\ -2b& 3d\end{matrix}\right|\)

ou seja,

\(x = \frac{y}{-6} \Leftrightarrow \frac{y}{x}=-6\).

[Rui Carpentier]

Não quero ser chato mas é raro aparecer duas resoluções distintas mas ambas com o mesmo resultado errado (talvez um influenciado pelo outro). É fácil verificar o resultado correto tomando o caso particular a=1=d e b=c=0 (onde x=1 e y=-6). Deixo para os autores das mensagens as correções das mesmas (fórmula do determinante/ propriedade da multilinearidade do determinante).

[Sobolev]

Obrigado Rui,

Realmente a fórmula que utilizei não está correcta, vou corrigir no post inicial.

[jorgeluis]

Valeu Rui,
foi falta de atenção mesmo!