Espaço vetorial de dimensão finita

[ADRIANA ALMEIDA]

Seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um subespaço F ⊂ E, prove que existe um subespaço G ⊂ E tal que E = F ⊕ G.

[Rui Carpentier]

Um modo de demonstrar é o seguinte. Se E é um espaço vetorial de dimensão finita n então qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em E não poderá ter mais de n elementos. Tome então uma base B do subespaço F e construa um conjunto S de vetores linearmente independentes do seguinte modo. Comece por considerar S=B e em seguida, sempre que o subespaço L gerado por S não for todo o espaço E, junte um elemento de E que não esteja nesse subespaço L. No final deste processo (que termina pois S não pode ter mais de n elementos) teremos que S é uma base de E que contém a base B de F. Defina então G como sendo o subespaço gerado por S\B e tem então o resultado pretendido: E = F ⊕ G.