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MensagemEnviado: 16 jun 2016, 04:21 
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Prezados, alguém me ajuda nessa?

Considere a transformação linear T:R4->R4 definida por T(x,y,z,w) = (x+(alfa).z, y+w, x+y-2.z, 4.z-w), onde alfa é um parâmetro real.

a) Calcule a matriz T em relação a base canônica de R4.

b) Para quais valores de alfa pertencente a R, a imagem de T tem dimensão 3?


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MensagemEnviado: 16 jun 2016, 12:39 
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Vale a pena especificar as dúvidas. Pelo menos está a compreender o problema? Sabe o que é a matriz de uma transformação linear, a imagem, etc?

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MensagemEnviado: 16 jun 2016, 14:09 
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A matriz de transformação seria esta?


T = 1 0 alfa -1
0 1 0 1
1 1 -2 0
0 0 4 -1

Para achar o valor de alfa para que a imagem tenha dimensão 3, o que eu poderia fazer?


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MensagemEnviado: 16 jun 2016, 14:31 
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É essa a matriz, sim, só que na primeira linha o último número deve ser 0.

A dimensão da imagem é igual ao posto matricial.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Posto_matricial
(Isto é mais ou menos óbvio: a imagem é gerada pelos imagens dos vetores da base canónica, mas estas imagens são as colunas da matriz.) Então, é preciso encontrar alpha tais que o posto seja igual a 3.

Nesse caso o posto é igual a 4 se, e somente se o determinante da matriz for não nulo. Por outra parte, as três últimas linhas são linearmente independentes, portanto o posto não pode ser menor do que 3.

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MensagemEnviado: 16 jun 2016, 14:50 
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Então para o posto da imagem ser igual a 3, eu poderia fazer o primeiro vetor dependente dos outros três?

Ficaria assim:

(1, 0, alfa, 0) = (0, 1, 0, 1)x + (1, 1, -2, 0)y + (0, 0, 4, -1)w

Resolvendo o sistema, encontra-se alfa = -6.

Assim, a imagem teria dimensão 3.

Está correto?


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MensagemEnviado: 16 jun 2016, 15:53 
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