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Trata-se do espaço \({\mathbb R}^3\), cujos elementos podem ser encarados como colunas de 3 números reais. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3. Para qualquer \(x \in{\mathbb R}^3\) o produto matricial \(Ax\) é definido e é uma matriz coluna, isso é, pertence a \({\mathbb R}^3\). Desta forma, a matriz A gera uma transformação \({\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}^3\). Facilmente se verifica que esta transformação é linear. Ainda por cima, toda transformação linear de \({\mathbb R}^3\) é gerada por uma matriz, isso é, pode ser obtida da mesma maneira.
Ora a questão é como encontrar uma base da imagem de uma transformação linear. Se e1, ..., en for uma base de um espaço vetorial V e T for uma transformação linear de V, facilmente se verifica que a imagem TV é gerada pelos vetores Te1, ..., Ten. Portanto, para encontrar uma base de TV, basta encontrar um subsistema maximal linearmente independente de Te1, ..., Ten. (Porém, se TV = V, i. e. se a transformação T for não singular, é claro que se pode usar qualquer base de V.)
Para aplicar este teoria ao dado problema, basta reparar no que as colunas de A são as imagens dos vetores da base canónica de \({\mathbb R}^3\) (isso é, A é a matriz da transformação na base canónica).
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Não sou português. Não sou simpático.
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