Espaço Vetorial V = {(x,y)/x,y >0}

Retirado do livro Álgebra Linear - Steinbruch pág 22 e 23.

Os símbolos ⊕ e ⊙ são utilizados para indiciar que a adição e a multiplicação por escalar não são as usuais.

O conjunto V = {(x,y)/x,y >0}. É um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim:

(x1,y1) ⊕ (x2,y2) = (x1 * x2, y1 * y2)

α ⊙ (x,y) = (x^α, y^α).

Sobre os 8 axiomas de espaço vetorial, tem que o elemento neutro da adição ⊕ é o vetor (1,1) (O autor afirma)

(x1,y1) ⊕ (1,1) = (x1 * x2, 1 * 1) = (x1,y1). VERIFIQUEI E CORRETO!

Sobre os 8 axiomas de espaço vetorial, tem que o elemento simétrico de cada vetor (x,y) é o vetor (1/x,1/y) (O autor afirma)

(x1,y1) ⊕ (1/x1, 1/y1) = (x1 * 1/x1, y1 * 1/y1) = (1,1). VERIFIQUEI E ERRADO!

Num deveria ser u + (-u) = 0?

É apenas suficiente mostrar que \(\mathbb{R}^*_+\) com as operações

\((*) x+y : = xy\) (soma definida pelo produto usual em \(\mathbb{R}\) ) e
\(a x := x^a\)

é um espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}\) . Pois , o conjunto V coincide com o produto cartesiano \(\mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}^*_+\) e as operações em V que vc mencionou podem ser definidas coordenada a coordenada a parti de \((*)\)

Note que geralmente se \(A , B\) são ambos espaços vetoriais sobre um mesmo corpo ...Então , o produto cartesiano \(A \times B\) admite uma estrutura natural de espaço vetorial , definindo tanto a soma quanto a multiplicação por escalar coordenada a coordenada ... Certamente , tu encontrará mais detalhes sobre tal resultado em seu livro como exercício ou lemma ..

tente concluir ...

Eu fiz uma bagunça mas na verdade minha dúvida é como adquirir o vetor (1/x,1/y).

Se designar por (u,v) o inverso de (x,y), deve ter, em particular, que

\((x,y) \oplus (u,v) = (1,1)\)

Isto exprime o facto de que somando um elemento com o seu inverso aditivo deve obter o elemento neutro da soma. Ora, a relação anterior é equivalente a

\((xu, yv) = (1,1) \Leftrightarrow xu = 1 \wedge yv = 1 \Leftrightarrow u = \frac 1x \wedge v = \frac 1y\).

Vê assim como é que (u,v) se obtém a partir de (x,y).

Muitíssimo obrigado, foi justamente o que gostaria de saber mas não soube me expressar de forma coerente.

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