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Mostrar que operador linear é sobrejetor e injetor
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Autor:  Engenet [ 10 mar 2017, 17:40 ]
Título da Pergunta:  Mostrar que operador linear é sobrejetor e injetor

Seja \(F\) o operador linear do \(\mathbb{R}^2\) tal que \(F(1,0)=(2,1) e F(0,1)=(1,4)\). Prove que \(F\) é sobrejetor e injetor (bijetor).

Provar que F é bijetor é mostrar que para cada elemento do domínio existe apenas um elemento correspondente no contradomínio, correto?
Eu encontrei que \(F(x,y)=(2x+y,x+4y)\), mas não sei como prosseguir.

Autor:  Sobolev [ 10 mar 2017, 20:58 ]
Título da Pergunta:  Re: Mostrar que operador linear é sobrejetor e injetor  [resolvida]

Uma transformação linear entre espaços de dimensão finita é injetiva se e só se é sobrejetiva. Assim pode por exemplo provar que é injectivo. No caso de operadores lineares, basta ver que \(F(x,y)=(0,0) \leftrightarrow (x,y)=(0,0)\), o que é verdade já que a matriz que representa $F$ na base canónica é invertível.

Autor:  Engenet [ 13 mar 2017, 12:52 ]
Título da Pergunta:  Re: Mostrar que operador linear é sobrejetor e injetor

Muito obrigado.

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