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| Encontrar uma Base ortogonal em R3 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=13297 |
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| Autor: | gabrielgmeireles [ 27 Oct 2017, 15:37 ] |
| Título da Pergunta: | Encontrar uma Base ortogonal em R3 |
(a) Encontre uma base ortonormal {u, v, w} de R3 que possui todas as seguintes propriedades (simultaneamente!): i. u pertence ao eixo z, ii. o ˆangulo entre v e (0, 1, 0) ´e π/4, iii. Escrevendo w = (w1, w2, w3), w1 ´e positivo. (b) Quantas bases ortonormais de R3 existem que satisfazem todas as propriedades de Parte (a)? |
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| Autor: | jorgeluis [ 29 Oct 2017, 20:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar uma Base ortogonal em R3 |
se, \(\left \{ \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right \}\) é uma base ortonormal, então, \(\vec{u}.\vec{v}=\vec{u}.\vec{w}=\vec{v}.\vec{w}=0 e \vec{u}.\vec{u}=\vec{v}.\vec{v}=\vec{w}.\vec{w}=1\) a) i) \(\vec{u}=(0,0,1)\) ii) \(se tg \frac{\pi}{4}=1 e \vec{v}.\vec{v}=1\) então, podemos dizer que, \(\vec{v}.(0,1,0)=tg \frac{\pi}{4} logo, \vec{v}=(0,1,0)\) iii) \(\vec{w}=\left \( \vec{w_1},\vec{w_2},\vec{w_3} \right \) \vec{w_1}>0 \Leftrightarrow \vec{w}=(1,0,0) \vec{w}=(1,0,0)\) b) existe apenas UMA possibilidade de base ortonormal em R3 que atenda às três propriedades: \(\vec{u}=(0,0,1) \vec{v}=(0,1,0) \vec{w}=(1,0,0)\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 30 Oct 2017, 16:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar uma Base ortogonal em R3 |
jorgeluis Escreveu: ... ii) \(se tg \frac{\pi}{4}=1 e \vec{v}.\vec{v}=1\) então, podemos dizer que, \(\vec{v}.(0,1,0)=tg \frac{\pi}{4} logo, \vec{v}=(0,1,0)\) ... Atenção que a fórmula é \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos(\theta) ||u|| ||v||\) (não envolve tangentes). Isso vai estragar todos os cálculos daí para a frente. O raciocínio, no entanto está correto. Note que se \(\vec{v}\) é ortogonal a \(\vec{u}=(0,0,1)\) então \(\vec{v}\) é da forma \((a,b,0)\) e que juntando ao facto de \(\vec{v}\) ter norma 1 e fazer ângulo de \(\pi/4\) com (0,1,0) dá-nos que \(b=\sqrt{2}/2\) e \(a=\pm \sqrt{2}/2\). Continuando o raciocínio (exercício) obtemos as seguintes soluções: \(\vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e }\vec{w}=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0) \mbox{ ou } \vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e } \vec{w}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0)\) |
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| Autor: | gabrielgmeireles [ 03 nov 2017, 04:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar uma Base ortogonal em R3 |
Rui Carpentier Escreveu: jorgeluis Escreveu: ... ii) \(se tg \frac{\pi}{4}=1 e \vec{v}.\vec{v}=1\) então, podemos dizer que, \(\vec{v}.(0,1,0)=tg \frac{\pi}{4} logo, \vec{v}=(0,1,0)\) ... Atenção que a fórmula é \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos(\theta) ||u|| ||v||\) (não envolve tangentes). Isso vai estragar todos os cálculos daí para a frente. O raciocínio, no entanto está correto. Note que se \(\vec{v}\) é ortogonal a \(\vec{u}=(0,0,1)\) então \(\vec{v}\) é da forma \((a,b,0)\) e que juntando ao facto de \(\vec{v}\) ter norma 1 e fazer ângulo de \(\pi/4\) com (0,1,0) dá-nos que \(b=\sqrt{2}/2\) e \(a=\pm \sqrt{2}/2\). Continuando o raciocínio (exercício) obtemos as seguintes soluções: \(\vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e }\vec{w}=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0) \mbox{ ou } \vec{u}=(0,0,1); \vec{v}=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0) \mbox{ e } \vec{w}=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2,0)\) Rui, não entendi muito bem seu raciocínio. A resposta anterior está errada então né? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 04 nov 2017, 00:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontrar uma Base ortogonal em R3 |
Citar: Rui, não entendi muito bem seu raciocínio. A resposta anterior está errada então né? Infelizmente sim, a resolução do Jorge Luis está errada. Repare que, para a condição ii, nunca poderíamos ter v=(0,1,0), porque o ângulo entre v e (0,1,0) seria, nesse caso, 0 (são o mesmo vetor). |
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