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MensagemEnviado: 04 nov 2017, 14:42 
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Considere os seguintes subespaços de R³:

U = {(x, y, z) : x = z}
V = {(x, y, z) : x = y = 0}
W = {(x, y, z) : x + y + z = 0}

Verifique se U + V = R³, se U + W = R³ e se V + W = R³. Em algum dos casos a soma é direta?


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MensagemEnviado: 06 nov 2017, 22:04 
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Para mostrar que basta conseguir escrever um elemento genérico de como soma de um elemento de U com um elemento de V. Por exemplo, , e .
O mesmo raciocínio com as outras somas:
para e
para .
Destes casos os único que são soma direta são aqueles em que a interseção é o espaço nulo. Como todas as somas dão , isso é equivalente a dizer que as somas das dimensões são 3. Ou seja, U+V e V+W pois dim(U)=dim(W)=2 e dim(V)=1.


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MensagemEnviado: 08 nov 2017, 15:32 
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Rui,
veja se estou errado:
Se,

entao,

condição obrigatória, por definição!
e,
como todo espaço vetorial (R3) possui pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), sendo um, o vetor nulo e outro o próprio espaço vetorial (R3), podemos admitir então que o subespaço W (conforme informações dadas), contem o vetor nulo (0,0,0).
Dessa forma, podemos concluir que (de acordo com as condições dadas):

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


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MensagemEnviado: 09 nov 2017, 15:03 
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jorgeluis Escreveu:
Rui,
veja se estou errado:
Se,

entao,

condição obrigatória, por definição!

U, V e W são subespaços de portanto é incorreto afirmar muito menos . Além disso, se V for um subespaço qualquer e a uma constante não-nula qualquer temos sempre que aV=V. Assim sendo, a proposição citada não tem qualquer relevância.

jorgeluis Escreveu:
como todo espaço vetorial (R3) possui pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), sendo um, o vetor nulo e outro o próprio espaço vetorial (R3), podemos admitir então que o subespaço W (conforme informações dadas), contem o vetor nulo (0,0,0).
Dessa forma, podemos concluir que (de acordo com as condições dadas):

Qualquer subespaço contém sempre o vetor nulo, e esse facto não implica que U+W=U. As restantes conclusões também não me parecem corretas.


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MensagemEnviado: 10 nov 2017, 11:27 
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Pesquisando melhor, descobri que você tem razão Rui: "todo subespaço deve conter pelo menos o vetor nulo!"
perdoe minha ignorância!

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