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Os subespaços abaixo resultam em R³? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=13323 |
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Autor: | maikdesouza [ 04 nov 2017, 14:42 ] |
Título da Pergunta: | Os subespaços abaixo resultam em R³? [resolvida] |
Considere os seguintes subespaços de R³: U = {(x, y, z) : x = z} V = {(x, y, z) : x = y = 0} W = {(x, y, z) : x + y + z = 0} Verifique se U + V = R³, se U + W = R³ e se V + W = R³. Em algum dos casos a soma é direta? |
Autor: | Rui Carpentier [ 06 nov 2017, 22:04 ] |
Título da Pergunta: | Re: Os subespaços abaixo resultam em R³? |
Para mostrar que \(U+V = \mathbb{R}^3\) basta conseguir escrever um elemento genérico de \(\mathbb{R}^3\) como soma de um elemento de U com um elemento de V. Por exemplo, \((x,y,z)= (x,y,x) + (0,0,z-x)\), \((x,y,x)\in U\) e \((0,0,z-x)\in V\). O mesmo raciocínio com as outras somas: \((x,y,z)=(0,y+x+z,0)+(x,-x-z,z)\) para \(U+W=\mathbb{R}^3\) e \((x,y,z)=(0,0,x+y+z)+(x,y,-x-y)\) para \(V+W=\mathbb{R}^3\). Destes casos os único que são soma direta são aqueles em que a interseção é o espaço nulo. Como todas as somas dão \(\mathbb{R}^3\), isso é equivalente a dizer que as somas das dimensões são 3. Ou seja, U+V e V+W pois dim(U)=dim(W)=2 e dim(V)=1. |
Autor: | jorgeluis [ 08 nov 2017, 15:32 ] |
Título da Pergunta: | Re: Os subespaços abaixo resultam em R³? |
Rui, veja se estou errado: Se, \(\left \{ U,V,W \right \}\in R^3\) entao, \(\left.\begin{matrix} a(U & +V)\\ a(U & +W)\\ a(V & +W) \end{matrix}\right\}\in R^3, \forall .aU,aV,aW a \in \mathbb{R}\) condição obrigatória, por definição! e, como todo espaço vetorial (R3) possui pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), sendo um, o vetor nulo e outro o próprio espaço vetorial (R3), podemos admitir então que o subespaço W (conforme informações dadas), contem o vetor nulo (0,0,0). Dessa forma, podemos concluir que (de acordo com as condições dadas): \(\left. U+V=(x_u,y_u,z_u+z_v) \right \}\forall .x_u=z_u U+W=U V+W=V\) |
Autor: | Rui Carpentier [ 09 nov 2017, 15:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Os subespaços abaixo resultam em R³? |
jorgeluis Escreveu: Rui, veja se estou errado: Se, \(\left \{ U,V,W \right \}\in R^3\) entao, \(\left.\begin{matrix} a(U & +V)\\ a(U & +W)\\ a(V & +W) \end{matrix}\right\}\in R^3, \forall .aU,aV,aW a \in \mathbb{R}\) condição obrigatória, por definição! U, V e W são subespaços de \(\mathbb{R}^3\) portanto é incorreto afirmar \(U,V,W \in\mathbb{R}^3\) muito menos \(\{ U,V,W\} \in\mathbb{R}^3\). Além disso, se V for um subespaço qualquer e a uma constante não-nula qualquer temos sempre que aV=V. Assim sendo, a proposição citada não tem qualquer relevância. jorgeluis Escreveu: como todo espaço vetorial (R3) possui pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), sendo um, o vetor nulo e outro o próprio espaço vetorial (R3), podemos admitir então que o subespaço W (conforme informações dadas), contem o vetor nulo (0,0,0). Dessa forma, podemos concluir que (de acordo com as condições dadas): \(\left. U+V=(x_u,y_u,z_u+z_v) \right \}\forall .x_u=z_u U+W=U V+W=V\) Qualquer subespaço contém sempre o vetor nulo, e esse facto não implica que U+W=U. As restantes conclusões também não me parecem corretas. |
Autor: | jorgeluis [ 10 nov 2017, 11:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Os subespaços abaixo resultam em R³? |
Pesquisando melhor, descobri que você tem razão Rui: "todo subespaço deve conter pelo menos o vetor nulo!" perdoe minha ignorância! |
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