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Todas as dúvidas que tiver sobre transformações lineares, transformações inversas, espaços lineares, subespaços lineares e bases e mudanças de base, valores e vectores próprios
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Os subespaços abaixo resultam em R³?  [resolvida]

04 nov 2017, 14:42

Considere os seguintes subespaços de R³:

U = {(x, y, z) : x = z}
V = {(x, y, z) : x = y = 0}
W = {(x, y, z) : x + y + z = 0}

Verifique se U + V = R³, se U + W = R³ e se V + W = R³. Em algum dos casos a soma é direta?

Re: Os subespaços abaixo resultam em R³?

06 nov 2017, 22:04

Para mostrar que \(U+V = \mathbb{R}^3\) basta conseguir escrever um elemento genérico de \(\mathbb{R}^3\) como soma de um elemento de U com um elemento de V. Por exemplo, \((x,y,z)= (x,y,x) + (0,0,z-x)\), \((x,y,x)\in U\) e \((0,0,z-x)\in V\).
O mesmo raciocínio com as outras somas:
\((x,y,z)=(0,y+x+z,0)+(x,-x-z,z)\) para \(U+W=\mathbb{R}^3\) e
\((x,y,z)=(0,0,x+y+z)+(x,y,-x-y)\) para \(V+W=\mathbb{R}^3\).
Destes casos os único que são soma direta são aqueles em que a interseção é o espaço nulo. Como todas as somas dão \(\mathbb{R}^3\), isso é equivalente a dizer que as somas das dimensões são 3. Ou seja, U+V e V+W pois dim(U)=dim(W)=2 e dim(V)=1.

Re: Os subespaços abaixo resultam em R³?

08 nov 2017, 15:32

Rui,
veja se estou errado:
Se,
\(\left \{ U,V,W \right \}\in R^3\)
entao,
\(\left.\begin{matrix}
a(U & +V)\\
a(U & +W)\\
a(V & +W)
\end{matrix}\right\}\in R^3, \forall .aU,aV,aW
a \in \mathbb{R}\)
condição obrigatória, por definição!
e,
como todo espaço vetorial (R3) possui pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), sendo um, o vetor nulo e outro o próprio espaço vetorial (R3), podemos admitir então que o subespaço W (conforme informações dadas), contem o vetor nulo (0,0,0).
Dessa forma, podemos concluir que (de acordo com as condições dadas):
\(\left. U+V=(x_u,y_u,z_u+z_v) \right \}\forall .x_u=z_u
U+W=U
V+W=V\)

Re: Os subespaços abaixo resultam em R³?

09 nov 2017, 15:03

jorgeluis Escreveu:Rui,
veja se estou errado:
Se,
\(\left \{ U,V,W \right \}\in R^3\)
entao,
\(\left.\begin{matrix}
a(U & +V)\\
a(U & +W)\\
a(V & +W)
\end{matrix}\right\}\in R^3, \forall .aU,aV,aW
a \in \mathbb{R}\)
condição obrigatória, por definição!

U, V e W são subespaços de \(\mathbb{R}^3\) portanto é incorreto afirmar \(U,V,W \in\mathbb{R}^3\) muito menos \(\{ U,V,W\} \in\mathbb{R}^3\). Além disso, se V for um subespaço qualquer e a uma constante não-nula qualquer temos sempre que aV=V. Assim sendo, a proposição citada não tem qualquer relevância.

jorgeluis Escreveu:como todo espaço vetorial (R3) possui pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), sendo um, o vetor nulo e outro o próprio espaço vetorial (R3), podemos admitir então que o subespaço W (conforme informações dadas), contem o vetor nulo (0,0,0).
Dessa forma, podemos concluir que (de acordo com as condições dadas):
\(\left. U+V=(x_u,y_u,z_u+z_v) \right \}\forall .x_u=z_u
U+W=U
V+W=V\)

Qualquer subespaço contém sempre o vetor nulo, e esse facto não implica que U+W=U. As restantes conclusões também não me parecem corretas.

Re: Os subespaços abaixo resultam em R³?

10 nov 2017, 11:27

Pesquisando melhor, descobri que você tem razão Rui: "todo subespaço deve conter pelo menos o vetor nulo!"
perdoe minha ignorância!
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