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Como usar o processo de Cholesky para solucionar um dos sistemas a seguir?
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Autor:  maikdesouza [ 14 nov 2017, 17:05 ]
Título da Pergunta:  Como usar o processo de Cholesky para solucionar um dos sistemas a seguir?

Sendo \(b = (2, 1, 5)^t\)
e as matrizes A e B da foto, utilize o processo de Cholesky para solucinar um destes sistemas: Ax = b ou Bx = b

Anexos:
bbbbb.jpg
bbbbb.jpg [ 5.27 KiB | Visualizado 2895 vezes ]

Autor:  jorgeluis [ 16 nov 2017, 15:18 ]
Título da Pergunta:  Re: Como usar o processo de Cholesky para solucionar um dos sistemas a seguir?  [resolvida]

Resolvendo Ax=b pelo método de Cholesky:
o método de Cholesky consiste, praticamente, em resolver 2 etapas:
\(Gy=b
G^tx=y\)

\(A\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & -1 & 3
\end{pmatrix}\)

\(A=GG^t\)

Encontrando os elementos de G, pela "sequência conveniente":
\(g_{11}=\sqrt{a_{11}}=1
g_{21}=\frac{a_{21}}{g_{11}}=1
g_{31}=\frac{a_{31}}{g_{11}}=0
g_{22}=\sqrt{a_{22}-g_{21}^2}=1
g_{32}=\frac{a_{32}-g_{31}.g_{21}}{g_{22}}=-1
g_{33}=\sqrt{a_{33}-g_{31}^2-g_{32}^2}=2\)

Resolvendo a 1ª etapa:
\(Gy=b\)

\(G\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}.y\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3
\end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}
2\\
1\\
5
\end{pmatrix}\)

\(y\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
3
\end{pmatrix}\)

Resolvendo a 2ª etapa:
\(G^tx=y\)

\(G^t\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.x\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
3
\end{pmatrix}\)

\(x\begin{pmatrix}
\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}\\
\frac{3}{2}
\end{pmatrix}\)

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