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Depois de analisar um algoritmo, consegui chegar nessa expressão abaixo, porém não consegui desenvolver a partir daí. Consegui o gabarito com outra turma da faculdade, mas queria entender como foi realizado tal operação.

Alguém poderia me explicar como a expressão algebrica abaixo....
T(n) = n(n-1)+(n-1)+(n-2)+....3.2+2.1+1.0

Resultou nessa resposta:
T(n) = c*n³
----
n

Que operações matetmaticas foi utilizada?

\(T(n)=n(n-1)+(n-1)(n-2)+\cdots + 3\cdot 2+2\cdot 1 +1\cdot 0=\)
\(= 2\left(\frac{n(n-1)}{2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}+\cdots + \frac{3\cdot 2}{2}+\frac{2\cdot 1}{2}+\frac{1\cdot 0}{2}\right) =\)
\(= 2\left({n \choose 2}+{n-1 \choose 2}+\cdots +{3 \choose 2}+{2 \choose 2}+{1 \choose 2}\right)\).
Pela identidade de stick de hockey, temos que \({n \choose 2}+{n-1 \choose 2}+\cdots +{3 \choose 2}+{2 \choose 2}+{1 \choose 2} = {n+1 \choose 3}\), logo \(T(n)=2{n+1 \choose 3} = \frac{n^3-n}{3}\).

Obrigado!!

Agora falando com um amigo, eu preciso dos fundamentos de indução matematica e soma dos quadrados. Por isso eu não enxergava uma saída para as operações.

Alguma dica para adquirir essas habilidades, ja estou assistindo video aulas a respeito.