Base da Imagem de uma transformação linear!

[João P. Ferreira]

Malta, eu sei que isto nem deve ser nada difícil, mas confesso que já estou a atrofiar

Como calcular as bases do núcleo e da imagem de uma aplicação linear F

A aplicação linear F:R³->R³ é definida pela matriz

F=
[1 1 1]
[1 2 0]
[0 -1 1]

Já descobri uma base para o núcleo pois sabemos que

Nuc(F) = {x€R³ : F(x)=0}

Então é achhar a solução do sistema

F(X)=0 ou seja

[1 1 1 | 0 ]
[1 2 0 | 0 ]
[0 -1 1 | 0 ]

que dá uma base para o núcleo de

Base( Nuc(F) ) = {(-1,1,0),(-1,0,1)}


__________________________

Mas a minha pergunta agora é, e a imagem?

Estou mesmo a atrofiar... Como calculo uma dimensão da imagem de F?

obrigado

[João P. Ferreira]

Perdão, o que queria mesmo saber era como calculo uma base e a dimensão da imagem...

Eu sei que pela regra dim(Nuc)+dim(Im)=dim(R³)=3

Logo a dimensão da imagem é 1... mas como cálculo uma base da imagem?

Estou mesmo a atrofiar rapaz... Podes ajudar?

Gracias

[João P. Ferreira]

ok, já percebi que a imagem é o espaço das colunas de A

mas esta regra não tem de ser cumprida?

dim(Nuc)+dim(Im)=dim(R3)=3

[João P. Ferreira]

Já percebi, enganei-me a calcular o núcleo de F

a dim(Nuc(F))=1

Base(Nuc(F))={(-2,1,1)} e dim(Nuc(F))=1

dim(Img(F))=2 e uma base pode ser uma base para o espaço das colunas

Finalmente

dim(Nuc)+dim(Im)=dim(R3)
1+2=3

Muito Obrigado